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Oct 30, 2023

非線形 2

Volume sulle comunicazioni sulla natura

Nature Communications volume 13、記事番号: 3090 (2022) この記事を引用

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3 引用

583 オルトメトリック

メトリクスの詳細

この記事に対する出版社の訂正は 2022 年 7 月 2 日に公開されました。

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時間結晶は、基底状態で周期運動する巨視的な量子系です。 私たちの実験では、スピン波準粒子（マグノン）からなる 2 つの結合時間結晶が巨視的な 2 準位系を形成します。 2 つのレベルは、非線形フィードバックによって本質的に決定されるように時間とともに進化し、自発的な 2 レベルのダイナミクスを構築できるようになります。 踏切の途中で、マグノンはランダウ・ツェナー効果とラビ個体数の振動によって駆動され、地上レベルから励起レベルに移動します。 私たちは、マグノン時間結晶を使用すると、1 回の実験で量子コヒーレント相互作用のあらゆる側面と詳細にアクセスできることを実証しました。 私たちの研究は、根底にある超流動系における表面結合マヨラナフェルミオンの検出の展望を開き、潜在的に室温でもコヒーレントマグノン現象の技術的利用を促します。

平衡状態における永続的な基底状態の運動は時間結晶を定義しますが、そのような運動を観測することが実現不可能であることは有名です1。 したがって、実験的な時間結晶の実現は、平衡 2,3,4 または永続性 5,6,7 のいずれかの要件を曲げ、環境および観察者から隔離された場合にのみ安定に達します 1,8,9,10。 その結果、十分な分離を維持しながら別々のタイムクリスタルを結合することは困難であり、タイムクリスタルは動的な環境ではまだ研究されていません。 我々は、 3He の超流動 B 相 (3He-B) 内に、それぞれ 1012 個のマグノンからなる相互作用する時間結晶の自発的な 2 準位ダイナミクスを配置します。 このシステムでは、駆動力がない場合、観測可能な結晶の寿命を最大 1,000 秒 11 (109 回の運動周期) まで延長することができ、基礎となる超流体システムがエンジニアリングのコヒーレントダイナミクスに固有のフィードバックを提供します。

3He-B 内のマグノンは、外部磁場 H の周りを歳差運動する磁化に関連した横スピン波の量子として発生します。十分なマグノン密度と十分に低い温度では、歳差運動は均一な周波数 ω と位相で自発的に同期し、マグノン ボーズを形成します。 –アインシュタイン凝縮12、13、14。 自発的同期は、閉じ込めトラップ内でマグノンをより高いエネルギーレベルにポンピングし、そこからマグノンが自発的に基底状態に落ちることによって実証できます 5,15。あるいは、ノイズドライブを使用してインコヒーレントマグノンをシステムにポンピングすることによっても実証できます 7,16。 これは、BEC のマグノン状態がドライブから切り離されていることを示しています。 したがって、マグノン凝縮体の横方向のスピン歳差運動は、時間結晶の特徴的な自発的周期運動を示します 5,6。

タイムクリスタルは、2 つの異なるポンピング技術を使用して作成できます。 連続ドライブを使用すると、Floquet (離散) 時間結晶が得られます。 ここでは、結晶の進化が始まる前にドライブをオフにするパルス技術を使用します。 このアプローチにより、外部からの強制がない場合でも、人為的な時間結晶のダイナミクスと相互作用を研究することができます。 ポンピングパルス中の時間結晶形成とその後のその展開は、2 つのタイムスケールによって特徴付けられます。 最初のタイムスケール τE ~ 0.1 秒は、結晶の熱化の時間を表します 17、つまり、マグノンのポンピングに続いてトラップ内の地表レベルで歳差運動がどのくらい早くコヒーレントになるかを表します。 2 番目のタイムスケール τN は、結晶の寿命の時間です。 隔離されたサンプル容器内では、温度が低下するにつれて指数関数的にτN→∞になります。 実際には、制御と観測の目的で歳差運動スピンに結合されている回路にも損失があります。 したがって、有限の τN を考慮する必要があります。 時間結晶は、τN ≫ τE5,6 である限り明確に定義されたままです。

超流動 3He では、クーパー対は軌道運動量を持ち、その平均分布はベクトル L でパラメータ化され、サンプル容器内で軸対称になります (図 1)。 時間結晶はスピン軌道相互作用によりその分布によって超流動サンプルの中央に捕捉されます。 方法 18、19、20 で詳しく説明されているように、磁場プロファイルを追加してトラップを微調整します。 また、バルクトラップ中心の上に超流体の自由表面を配置します6。 図 2a に示すように、自由表面は L の分布を歪め、その結果、バルク トラップ最小値の 3 mm 上に位置する 2 番目の極小値が生じます。 マグノンはトラップされ、トラップのいずれかまたは両方で同時にタイムクリスタルを形成することができます。 この記事では、各トラップの最低エネルギー レベルに焦点を当てます。 物理的位置に対応する時間結晶の「バルク」と「表面」を表します。 時間結晶の位置は、磁場プロファイルの変化に対する応答によって実験記録から特定されます6。

超流動 3He サンプルは石英ガラスのシリンダーの中に入れられています。 マグノン時間結晶 (青い塊) は、ピンチ コイル (緑色のワイヤー ループ) を使用して作成された静磁場の最小値と、超流動軌道運動量の空間分布の複合効果によって、コンテナの中央に閉じ込められます。 L (小さな緑色の矢印)。 時間結晶内の磁化 M (マゼンタの円錐) のコヒーレントな歳差運動は、横方向のピックアップ コイルを使用して観察されます。 静磁場 H は円筒の軸と平行に配向されます。 超流体の自由表面上の波紋は、説明のために追加されています。 2 レベル時間結晶の模式図を図 2 に示します。

a L (緑の矢印) の分布はマグノンを 2 つの極小値に閉じ込め、2 つの隣接する時間結晶をホストします。1 つは超流体のバルク内にあり (青いブロブ)、もう 1 つは自由表面に接触している (赤いブロブ)。 毎回の結晶では、磁化がコヒーレントに歳差運動しており、図 1 に示すように測定回路に結合します。 b バルク内のマグノンは、L 分布によって作成される閉じ込めトラップを変更します。 バルク集団が大きい場合 (シアンのブロブ)、テクスチャ トラップは広がり (赤い矢印)、表面時間結晶の波動関数も変更されます (マゼンタのブロブ)。 これにより、状態間の結合が増加します。 トラップと波動関数の変化は、説明のために誇張されています。 c 2 準位系 (赤い矢印) の状態は、半径方向の距離がマグノン数 NB + NS に対応し、結晶の歳差運動の間の相対位相が方位角 ϕ に対応し、極角度 θ は、「重ね合わせ」における 2 レベルの基底状態の相対的な重みを表します (「方法」を参照)。

バルク時間結晶個体数 (つまり、トラップされたマグノンの数) NB と表面個体数 NS を表すことにします。 バルクおよび表面の歳差運動周波数 (ωB、ωS) は、「方法」で詳しく説明されているように、閉じ込めトラップのプロファイルと、波動関数の重なりによる結晶間の結合 Ω によって決まります。 結合レベルのダイナミクスが巨視的な 2 レベルのハミルトニアンによって記述されることを示します。

ここで、ℏ は換算プランク定数、t は時間です。 この2レベル系は、方位角に対応する時間結晶とz軸への投影に対応するレベル集団の間の相対的な歳差運動位相を備えた巨視的なブロッホ球（図2c）によって都合よくパラメータ化されていることに注意してください。量子ビットなどの微視的な 2 準位系のブロック球記述。 以下では、バルクトラップの中心で取得したラーモア周波数 ω0 = ∣γH∣ で回転するフレーム内のすべての周波数を測定します (γ ≈ −2⋅108rad s−1 T−1 は 3He 回転磁気比)。

式の本質的な違いは次のとおりです。 (1) 標準的な 2 レベルのハミルトニアンからの依存性 ωB[NB(t)] は、スピン軌道トラップによって提供される非線形フィードバックによって発生します。局所的なマグノン密度が大きいとトラップが拡張され、L の分布が変化します。 、したがって、ωB が減少します。 このメカニズムは参考文献で広く研究されています。 結果は図 2b に概略的に示されています。 自由表面付近では、L 分布は表面に対して垂直に固定されます。 したがって、ωS は一定であり、良好な近似値となります。 結晶集団が減衰するにつれて、NB は減少し、ωB は増加します。 したがって、適切な初期集団を選択することで、二重トラップのエネルギー準位を交差させることができます。 巨視的な時間結晶波動関数、トラップポテンシャル、およびフィードバックメカニズムの厳密な説明は、「方法」で導出されます。 関連するすべての技術的な説明は、明示的に参照されていない場合でも「メソッド」に記載されていることを強調します。

時間結晶のもう 1 つの特徴である、連続駆動下での加熱の欠如 22 もこのシステムでも明らかであることに注意してください。 連続ポンピング下では、タイムクリスタル内のマグノンの数はポンピング周波数に対応する化学ポテンシャルによって決まります (「方法」を参照)。 この数値を超えると、タイムクリスタルがドライブから自発的に切り離され13、過熱が防止されます。 同様に、ポンピングパルス後の個体数のゆっくりとした減少中、化学ポテンシャル（歳差運動周波数）は変化するマグノン数に合わせて継続的に調整されます21。 したがって、たとえ駆動が元々共振していたとしても、歳差運動周期とコヒーレンスは駆動パルスと不釣り合いになり、従って駆動パルスから独立することになる。

この記事では、2 つの実験を実行して、2 準位時間結晶系のダイナミクスを研究します。 最初の実験では、小さな NB で踏切が発生します。教科書の説明に従った踏切ダイナミクスを示します。システムは最初は基底状態にありますが、回避された踏切では、ランダウ ツェナー分布により両方のレベルにデータが存在します。移行。 この「重ね合わせ」状態は、交配後のラビ個体群の振動によって修正され続けます。 2 番目の実験は「重ね合わせ」から始まります。レベル クロスは大きな NB で発生し、フィードバック メカニズムが動的に変化する結合 Ω に変換されます。 2 番目の実験の分析では、共存するタイムクリスタルにより、有能な観察者にとって 1 回の実験で多体相互作用が明らかになることが示されています。 つまり、この場合、踏切ダイナミクスは解析的に記述することはできませんが、コヒーレントな量子現象は直接検査できないことが多いのに対し、時間結晶にはそのような制限がありません。

時間結晶レベルは、隣接するコイルを介した高周波パルスによって希望の割合で生成されます (図 1)。 2 レベルのダイナミクスを強調するために、図 3a に示す実験の最初にバルク時間結晶のみを配置します。 パルスの後、磁化のコヒーレントな歳差運動によりコイル内に発振信号が誘導され、これにより歳差運動の周波数を推測することができ、信号の振幅からマグノン数が得られます。 これらの量は図 4 の実験から抽出されたものです。ポンピングの後に \({N}_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}(t) の指数関数的減衰が続きます={N}_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}(t=0)\exp (-t/{\tau }_{{{{{{{{ \rm{B}}}}}}}})\) は時定数 τB で、方法で詳しく説明されているように温度によって制御されます。

a ピックアップ コイルからの信号を窓付きフーリエ変換 (FT) で分析すると、バルク時間結晶が移動する鋭いピークとして示されます。 周波数は回転座標系 Δω = ω − ω0 にプロットされます。 t = 0 での励起パルスは、わかりやすくするためにフレームアウトされています。 最初は ωB < ωS でしたが、バルク トラップ内の個体数が減衰するにつれて、t = 3.3 秒で、グローバルな基底状態が交差を避けて地表に移動します。 励起状態はバルク内に位置し、同時に存在します。 Rabi (Josephson) 人口振動は側波帯として見られます。 側波帯から抽出された結合は、交差部で Ω/(2π) = 1.7 ± 0.4 Hz に外挿され、近似されたシミュレーション値 Ω/(2π) ≈ 1.4 Hz とよく一致します。 b 数値シミュレーションでは個体群の移動と側波帯が再現され、個体群の移動がランダウ・ツェナー遷移によるものであることが確認されました（図4の解析）。 測定ノイズがない場合、表面時間トレースの側波帯も弱く見えます。 c 実験からシミュレーションを差し引くと、点ごとの残差が 5% 未満のままであることがわかります。 相対的な差は、交差点での合計信号によって正規化されます。 この測定では、温度は 180 μK、ω0/(2π) = 833 kHz でした。

a シミュレーションにおけるドレッシングされた地面レベル時間の結晶周波数 (マゼンタの細い線) は、実験から抽出されたもの (黒い太い線) に従います。 実験ラインは、図 3 に示すフーリエ スペクトルの最大値をトレースすることによって得られます (振動は長い時間窓によって除外されます)。 基底状態周波数は最初は ωB に対応し、t = 3.3 秒で回避された交差の後は ωS に対応します。 同時に、励起準位周波数 (シミュレーション - シアン色の細い線、実験 - 濃い赤の点線) が ωS から ωB に切り替わります。 交差後の周波数の振動は、母集団の振動により発生します。 b したがって、シミュレーションを使用して、t = 3.3 s (点線の垂直線) で交差する、ドレスされていない周波数 ωB (太い赤線) と ωS (細い青線) を抽出できます。 交差速度 d∣ωS − ωB∣/dt ≈ dωB/dt は、赤い一点鎖線と一点鎖線の異なる傾きで示されているように、フィードバック ωB(NB) によって本質的に加速されます。 ランダウ・ツェナー人口移動の大きさは、この速度向上によって決まります。 周波数は回転座標系 Δω = ω − ω0 にプロットされます。 対応する集団を以下のパネルに示します。 c 測定された信号振幅 (地上レベル - 太い黒線、励起状態 - 点線の濃い赤の太い線) は、シミュレートされたドレス集団 (地上レベル - 細いマゼンタ線、励起状態 - 細い線) と一致します。シアンの線）。 シミュレーションからの総母集団と測定された信号の両方が交差点での 1 に正規化されており、図 3 で比較に適用された充填係数 (「方法」を参照) はここでは使用されません。 d 服を着ていない集団 NB (太い赤い線) と NS (細い青い線) がシミュレーションから抽出されます。 総人口は交差点の 1 人に正規化されます。 黒い線は、指数関数的減衰が補正されたバルク母集団を示しています。\({N}_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}^{0}={N}_{ {{{{{{{\rm{B}}}}}}}}\exp (t/{\tau }_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}} })/{N}_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}(t=0)\)。 交差後、補正されたバルク母集団の平均は \({N}_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}^{0}=0.61\) (水平破線) 、ランダウ・ツェナー機構によって励起状態に移行した集団の割合に相当します。

図 3 では、地面レベルは最初はバルク トラップ内に位置し、NB は τB によって決定される速度で減衰し、トラップがより狭い形状に回復するにつれて ωB はゆっくりと増加します。 一方、ωS は一定のままです。 したがって、ωB は横ばいになる前に最終的に ωS を横切ります。 結合 2 レベル システムでは、踏切は特定の結果をもたらします。観測された周波数は、ラビ領域 Ω > ∣ωB − ωS∣ におけるドレスされていない周波数 ωB、ωS から逸脱するハミルトニアンの (ドレスされた) 固有周波数です。 このハイブリッド形成により、観測された準位は互いに交差することが回避され、図3aに見られるように、地球規模の地表準位はバルクから表面（ωBからωS）に滑らかに切り替わります。 回避された交差点の後に両方のレベルに人が住むため、レベル間の人口移動も観察されます。

回避された交差を断熱的に横断すると、マグノン個体群全体がグローバルな基底状態に従うことが可能になりますが、ここでは一部のマグノンがより高い固有エネルギー（歳差運動周波数）を持つ状態に移動します。 このプロセスは一般に、ランダウ – ツェナー – シュテュッケルベルク – マヨラナ トンネル、またはランダウ – ツェナー トンネルとして知られています。 移送される人口は、ωB = ωS における踏切率 d∣ωS − ωB∣/dt に依存します。 減衰を伴う通常の結合非線形発振器の場合、交差速度は減衰によって直接決定されます。 ここで、減衰率 τB = 3.5 s は、d∣ωB[NB(t)]/(2π)∣/dt ~ 24 Hz s−1 に対応します。 これと、以下で説明するように実験から直接抽出されたカップリングを使用すると、励起状態へのランダウ・ツェナー集団転移率の予測値は 0.9% になります。これは、実験で観察されたものより 2 桁小さくなります。 この場合、交差後の図 3a では 2 つのレベルのうち 1 つだけが表示されます。 d∣ωS − ωB∣/dt を小さくした同様の実験では、対応するランダウ・ツェナー予測よりも最大 20 桁大きい個体群移動が観察されました。

2 準位ハミルトニアンの時間発展を数値的にシミュレートすることで、この顕著な不一致を分析できます。 実験的に決定した体積および表面崩壊率 τB および τS、対応する初期集団、および測定された ωB[NB] 依存性を 2 レベル ハミルトニアンの数値シミュレーションに入力します (「方法」を参照)。 結合定数 Ω はフィッティング パラメーターとして使用され、Ω/(2π) = 1.4 Hz が得られます。

実験信号と同じ方法でプロットされたシミュレーションの結果を図 3b に示します。 実験値からシミュレートされた時間依存フーリエスペクトルを差し引くことで、それを実験値と直接比較できます（図3c）。 シミュレーションでは、図4a、bに示すように、交差点付近の表面時間結晶周波数の変化が過小評価されており、これがフーリエスペクトル間の最大の偏差を引き起こします。 それ以外の場合、2 つの信号間の標準的な偏差は、交差点での合計信号で正規化すると 5% 未満になります。 特に、シミュレーションでは個体群の移動の大きさ、つまりマグノンの 60% が励起状態に移動することが再現されています。 シミュレーションされた個体群動態は、図4cの測定信号と直接比較されます。 摂動された入力パラメータを使用してシミュレーションを繰り返し実行すると、この質的レベルの人口移動は入力パラメータの正確な値の影響を受けないことが明らかになることを強調します。

この観察を説明するために、回避された交差点付近の領域のシミュレーションからドレスされていない周波数を抽出します (図 4b)。 フィードバック ωB(NB) の結果として、バルク周波数は、NB のゆっくりとした減衰と、ラビ振動による NB から NS への個体数の移動の両方により変化します。 したがって、それらの複合効果により、交差率 d∣ωS−ωB∣/dt が増加します。 ランダウ・ツェナー集団移動の大きさは交差から約 50 ミリ秒以内に決定され 23、このウィンドウでは ωB(t) を線形化できます。 加速された交配率をランダウ・ツェナーの式に代入すると、予想される個体群移動は61%となり、シミュレーションによる個体群移動の60%と良く一致します(図4d)。 つまり、人口移動は、踏切の瞬間に取得される踏切率を使用したランダウ・ツェナー記述に従います。 したがって、ランダウ・ツェナー記述は、交差率が固有のフィードバックによって調整されている場合でも有効であることに注意してください。 我々は、観察された個体群移動は、時間結晶力学の 2 レベルの解釈を強力に裏付けていると結論付けます。

回避された交差とは程遠く、2 レベルの相互作用はレベル間の AC ジョセフソン個体数振動によって特徴付けられます 6。 バルク トラップのフィードバックにより、発振によりバルク トレースに続く側波帯が発生します。 集団振動の周波数は、化学ポテンシャルの差に等しい、結晶歳差運動周波数の差によって設定されます6。 したがって、図3aに見られるように、側波帯はバルクトレースから∣ωB−ωS∣によって分離されます（方法の導出を参照）。 集団振動の振幅は結合 Ω によって決まり、相対的な側波帯振幅は ωB(NB) の傾きによって決まります (式は「方法」に記載されています)。 したがって、実験データから結合を直接抽出することができ、レベルクロス領域で Ω/(2π) = 1.7 ± 0.4 Hz が得られ、シミュレーションの適合値 Ω/(2π) = 1.4 Hz とよく一致します。

まとめると、ジョセフォン個体群の振動、ランダウ - ツェナー個体群の移動、個体群動態のさまざまな側面から独立して抽出された 2 準位結合に関する一致により、2 時間結晶が巨視的な 2 準位系を形成していることが確認されます。

非線形フィードバックによって強化されたマグノン時間結晶ダイナミクスは、システムの数値シミュレーションに頼ることなく直接解析することもできます。 これは、2 レベルの記述を超える複数の時間結晶を含む相互作用のもつれを解くことができるため、有利です。 この機能の簡単なデモンストレーションとして、NB が上記よりも一桁大きい地域に踏切を導入します。 結果として生じるトラップの変更は、図2bに示すように、ωB(NB)だけでなく、時間結晶間の狭窄にも影響を与えます。 これにより、結合 Ω が交差中に動的に変化します。 両方のレベルは、ダイナミクスを直接追跡できるように、実験の開始時に設定されます (図 5a)。

a 時間結晶が t = 0 で作成される。周波数は回転座標系 Δω = ω − ω0 にプロットされます。 b 最初は基底準位 (黒線) がバルク内に位置し、励起準位 (緑の実線) が表面に位置します。 t ≈ 3.8 秒 (縦の破線) では、地表レベルは交差を避けて地表までスムーズに移動します。 緑の点線は、交差点における励起状態周波数の線形補間を示します。 c 人口の大部分は、バルクから地表への地表 (黒線) の移動に従います。これは、指数関数的緩和率 τ の急激な増加によって識別されます (当てはめられた破線と図でマークされた値)。 総人口は交差点の 1 人に正規化されます。 d 時間結晶間の集団振動は、周波数 ω 側波帯でパネル a のバルク結晶トレースの側波帯として見られます。 バルク トレースからの側波帯の周波数分離 ∣ωB − ω側波帯∣ (黒の実線) は、メイン トレースの周波数分離 ∣ωB − ωS∣ (マゼンタの破線) に等しくなります。 e 結合 Ω は、サイドバンドとメイン トレースの振幅から抽出できます。これは、パネル b (水平の破線) のメイン トレースの分離から線形補間によって推定された値とよく一致します。 この測定では、温度は 150 μK、ω0/(2π) = 624 kHz でした。

この実験では結合は変化していますが、定性的にはダイナミクスは上記と同様のパターンに従います。ドレスされていない周波数が t ≈ 3.8 秒で交差すると、基底状態がバルクから表面に移動します (図 5b)。 交差の瞬間は、基底状態トレースの緩和率が \({\tau }_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}^{- 1}=0.06\,{{{{{{{\rm{s}}}}}}}}^{-1}\) から \({\tau }_{{{{{{{{ \rm{S}}}}}}}}^{-1}=0.53\,{{{{{{{\rm{s}}}}}}}}^{-1}\) (図5c)。 この増加は、他のスピン波モード 24 および潜在的に表面結合マヨラナ状態 25,26 の表面媒介放出による表面トラップでの散逸の増加に起因すると考えられますが、詳細な研究は将来に残されています。 磁場プロファイルを調整して実験を再実行することによっても状態を特定できることに注意してください。 緩和率は 2 つのレベルを区別するための便利な近道です。

2 つの時間結晶間のジョセフソン分布振動は、バルク時間結晶トレースに続く側波帯として見られます。 上で説明したように、側波帯はバルク トレースから ∣ωB − ωS∣ だけ分離されています。 この分離はジョセフソン効果の特徴であり、図5dに示すように、ωBが変化するため時間とともに変化します。 表面時間結晶の後には同様の側波帯が続きません。これは、表面トラップが剛体であるため、分布振動によって側波帯が発生しないためです (「方法」を参照)。 2 番目のバルク トレースのサイド バンドはバルク トレースの反対側に対称的に配置される必要がありますが、表面トレースと正確に一致するため、分解できません。

側波帯の振幅により、時間結晶間の結合を抽出することができます（図5e）。 抽出されたカップリングは実験の開始時に最大であり、NB が減少すると減少します。 つまり、時間結晶間の狭窄はバルクトラップ修飾の影響を受けており（図2b）、NBが大きい場合には結合が大きくなります。 これは、参考文献で説明されているトラップ修飾メカニズムと定性的に一致しています。 13、14、21。

回避された交差干渉の影響の近くでは、実験における母集団振動への直接的なアクセスが妨げられます。 ただし、2 レベル システムでは、回避された交差における 2 つのレベルのドレッシング周波数の最小周波数分離 (2Ω に等しい) から結合を抽出することもできます。 これは、図 5a の補間によって行われます。 結果は図5eの水平線で示されており、側波帯から抽出された依存性とよく一致しています。 回避された交差の近くで、ドレッシングされた (観測された) 周波数の分離がジョセフソン周波数とラビ周波数の差に等しいことに注意してください。 つまり、ラビ集団振動はジョセフソン振動を滑らかに置き換え、ゼロになるジョセフソン周波数と比較して集団振動周波数を増加させます。

バルク時間結晶の緩和速度は、それが全体的な基底状態であるか全体的な励起状態であるかによって異なることに注目する価値があります。 図 5c では、バルク緩和時間は \({\tau }_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}^{-1}=0.06\,{{{{ {{{{\rm{s}}}}}}}}^{-1}\) が踏切 (接地状態) まで続き、\({\tau }_{{{{{{ {{\rm{B}}}}}}}}^{-1}=0.2\,{{{{{{{\rm{s}}}}}}}}^{-1} \)踏切通過後（興奮状態）。 同様に、同じ観察が表面時間結晶緩和速度にも当てはまります。 踏切がない場合、たとえばバルク時間結晶が実験全体を通して基底状態である場合、そのような変化は決して観察されないことを強調します。 つまり、励起状態からゆっくりとマグノンが基底状態に漏洩しているように見えます。 この観察は、マグノンが励起状態から基底状態に移行することを可能にする追加のインコヒーレントなチャネルが存在することを示唆しており、2 つの時間結晶が相互作用し、レベル交差が 2 準位系のダイナミクスを貫通する物理的影響を及ぼしていることを個別に示しています。 。

上記の分析により、2 レベルの記述が有効であり、そのパラメータの動的な変動に対して堅牢であること、および直接の実験観察により相互作用のすべての関連側面への継続的なアクセスが提供されることが確認されています。

要約すると、我々は、2 つの隣接するマグノン時間結晶のダイナミクスと相互作用が 2 レベルのハミルトニアンによって定量的に記述されることを示しました。 準位は、基礎となる超流体システムのスピン軌道相互作用によって生じる非線形フィードバックによって変更されます。 これにより、継続的な外部駆動がない場合でも、固有の時間結晶ダイナミクスを設計することが可能になります。 2 準位の固有周波数が互いに近づくと、準位間の結合により、その後に起こる大域基底状態から励起状態へのランダウ・ツェナー分布の移行との交差が回避されることを示します。 ラビの個体数変動は、フィードバック機構と組み合わせることで、個体数の移動を桁違いに増加させます。 これは、数値的にシミュレーションされた人口動態を実験と比較することによって定量化されます。 また、固有振動数や時間結晶間の結合を含むすべての関連する観測量とパラメーターが実験から同時に抽出できることも示します。 この記事に示されている各測定シーケンスは 1 回の実験に対応していますが、現象は十分に再現可能であることを強調します。

我々は、スピン軌道相互作用を利用して、コヒーレント時間結晶系内のマグノンに対する非線形フィードバックを生成できることを示した。 非線形フィードバックは、SQUID などの典型的な量子デバイスのスピンベースのバージョンに必要です。 マグノンのパラメトリックポンピングと 2 つのレベル間の論理ゲート動作を実証することによって、タイムクリスタル 2 レベルシステムをさらに調査することは、依然として興味深い課題です。 たとえば、トラップの磁気部分を周波数 Ω で変調することにより、パラメトリック ポンピングを構成できます。 さらに、任意の数の共存するタイムクリスタルを磁気ランドスケープに収容して自由度を増やすことができ、外部磁場を調整することで柔軟なトラップをオフにすることができます。 これらは、マグノンベースのデバイスを実現するための重要な機能です27、28、29、30、31、32。 量子もつれなどの現象にアクセスするには、ナノ流体閉じ込めと超高感度 NMR 技術を使用して数マグノン操作を実装できます 33,34。 我々は、準粒子ボース・アインシュタイン凝縮や時間結晶の出現を含む同様の物理現象が、例えば YIG フィルムのマグノンに基づいた特定の固体室温システムでアクセスできることを強調します 35,36,37,38,39,40。 41、42。 これにより、コヒーレント量子情報処理を含む、周囲条件下での準粒子ベースのコヒーレントオンチップアプリケーションの展望が開かれる27、28、30、31、32、39。

3 次元トポロジカル超流体は、表面に結合した準粒子の 2 次元系によって包まれており、その中にはマヨラナ フェルミオンもあります 43,44,45,46,47,48,49。 自由表面には（サンプル容器の壁とは異なり）不純物はなく、表面に結合したマヨラナフェルミ粒子は、検出可能なゼロ温度磁気散逸として現れると予想されます 25,26。 マヨラナフェルミ粒子は、10 年に渡るさまざまな凝縮系での探索にもかかわらず、依然としてとらえどころのないままです 50。 ハイブリダイズした 2 準位状態は超流体の自由表面と直接接触しており、結合したマヨラナ状態に対する非常に高感度なプローブを形成します。 我々は、表面が磁気散逸を誘発し、時間結晶の 2 レベル システムを使用してこの痕跡の詳細を調査できるという予備的な証拠を提供しました。

超流動 3He サンプルは、核減磁冷凍機内の円筒形石英ガラス容器 (長さ 15 cm、直径 6 mm) に入れられます (図 1)。 サンプル容器の下端は、核冷媒と熱的に結合された焼結銀粉末の表面に接続されています。 これにより、 3He を 130 μK まで冷却することができます。 超流体の温度は石英音叉を使用して測定されます51、52。圧力は飽和蒸気圧に等しく、このような低温では無視できるほど小さくなります。 飽和蒸気圧での超流動転移温度は Tc ≈ 0.9 mK です。 サンプル容器は、Q ≈ 150 のタンク回路共振器の一部である 2 つの横方向 NMR コイルと、軸方向の最小磁場を生成するために使用されるピンチ コイルによって囲まれています。 タンク回路の共振周波数は、16.5 mT ～ 25 mT の外部磁場に対応して、550 kHz ～ 833 kHz の間で等距離の 8 ステップで調整できます。 信号は低温プリアンプ53と室温アンプによって増幅されます。

自由表面は磁場の最小値の中心から 3 mm 上に位置します。 自由表面の位置は、最初に完全に満たされたサンプル容器から液体を除去した結果生じる校正容積内の 3He ガスの圧力を測定し、目的の位置が達成されるまで 3He をゆっくりと除去することによって調整されます。 この結果は、観察されたマグノンスペクトルおよびトラップの数値モデルと良好に比較されます。 結果として生じるマグノン用の 2 つのトラップについては、次のセクションで詳しく説明します。

時間結晶波動関数は、Ψ = ae−iωt と書くことができます。ここで、t は時間、ω は化学ポテンシャル μ = ℏω に関連する歳差運動周波数、位相項 eiφ は a に含まれ、マグノンの数 N = ∣a∣2。 磁場 H から測定される歳差運動磁化の傾斜角 βM は、波動関数 \(N=| a{| }^{2}\propto \int {\sin }^{2}) の空間プロファイルをパラメータ化します。 \frac{{\beta }_{{{{{{{{{\bf{M}}}}}}}}}}{2}{{{{{{\rm{d}}}}} }}V\)。 ピックアップ コイル (図 1) に誘導される信号は正弦波であり、NMR コイルの軸に沿った磁化、言い換えれば回転複素波動関数 e−iωt の実数部に対応します。 測定された信号の振幅は、時間結晶波動関数の振幅に比例します。

ここで、c には、NMR コイル内の状態のいわゆる充填率、測定回路内のタンク回路共振器および他の増幅器によって提供される増幅 53、および物理定数 20、21 が含まれます。

トラップ内の所望のレベルは、ピックアップ コイルを介した高周波パルスによって生成され、その後、次の 2 つのメカニズムによりゆっくりと生成量が減少します。超流体のフェルミオン熱励起は、非流体力学的スピン拡散を引き起こします 18。 この寄与は、ゼロ温度限界 (1000 秒の寿命が達成されている 11) では指数関数的に小さくなるか、より高い温度では支配的になります。 準永久時間の結晶の動きを観察し制御すると、必然的に外部散逸も発生します 54。この場合、測定回路での放射損失が発生します 18。 これらの散逸メカニズムは両方とも、時間の経過とともに指数関数的な個体数減衰を引き起こし、その組み合わせは時定数 τN で表されます。 タイムクリスタルは、パルス後にタイムクリスタルが形成されるのにかかる時間（ここではτE ～ 0.1 秒）よりもはるかに長い寿命（ここでは τN ～ 10 秒）を条件として明確に定義されます5,6。

2 レベル システムは、状態間に結合がない場合、「重ね合わせ」波動関数 \({{\Psi }}=b\,{e}^{-i{\omega }_{{{ {{{{{\rm{B}}}}}}}}t}+s\,{e}^{-i{\omega }_{{{{{{{{\rm{S}} }}}}}}}t}\)、\(b=\sqrt{{N}_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}{e}^ {-i{\varphi }_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}\) と \(s=\sqrt{{N}_{{{{{{ {{\rm{S}}}}}}}}}{e}^{-i{\varphi }_{{{{{{{\rm{S}}}}}}}} \)。 相対位相のみがシステムのダイナミクスに入ります。 したがって、 b は実数になるように選択でき、 b と s の組み合わせは巨視的なブロッホ球によって便宜的に図示されます (図 2c): 表面は総マグノン数 N0 = ∣b∣2 + ∣s∣2 = の状態に対応します。 NB + NS、および内部からより小さなマグノン数が個体群の減衰中に到達しました。 重ね合わせにおける基底状態の重み、つまりバルク (表面) 状態における総母集団の割合は、極角 θ によって与えられます。 \({N}_{{{{{{{{\rm {B}}}}}}}}}={N}_{0}\cos (\theta /2)\) (\({N}_{{{{{{{\rm{S}} }}}}}}}={N}_{0}\sin (\theta /2)\))。 相対位相 ϕ は、球の xy 平面の方位角に対応します。 それは時間に応じて進化します

相対位相の制御は本研究の範囲を超えており、NMR コイルの幾何学的形状を調整する必要があることに注意してください。

3He-B は p 波超流動体であるため、クーパー対の軌道運動量は 1 に等しくなります。 サンプル容器の円筒内では、磁場と容器壁の配向効果により、平均軌道運動量 L が対称的に分布します (図 1 の「テクスチャ」)。 さらに、ピンチ コイルを使用して軸方向の最小値 H を作成し、ゼーマン エネルギーによってマグノンを閉じ込めます。 したがって、バルクトラップポテンシャル U(r) = UH + UL には磁気部分があり、

スピン軌道相互作用により L 分布によって生成される成分

ここで、 ω0(r) = ∣γH(r)∣ は位置 r に依存する局所ラーモア周波数、ΩB は B 相レゲット周波数、γ ≈ −2⋅108rad s−1 T−1 は 3He の磁気回転比です。 、秩序パラメータ分布は、円筒軸に沿った方向の磁場 H の方向から測定される軌道異方性軸の傾斜角 βL(r) によってパラメータ化されます。

自由表面をトラップ中心の上に持ってくると、自由表面で βL = 0 として次数パラメータ トラップが歪み、表面に極小値が作成されます。 均一磁場が存在しないラーモア周波数 ω0 で回転するフレーム内の時間結晶を研究することに注意してください。 位置を明示的に参照せずに表記 ω0 が使用されている場合、これはバルク トラップの中央のラーモア周波数を意味し、高調波トラップ ポテンシャルの最小値に対応します。 2 つのトラップ内にある時間結晶を識別し、異なる緩和率を利用してフィールド最小値のプロファイルを変更することでその周波数を調整できます。 以下では、柔軟なバルク トラップによって生成されるフィードバックの研究に焦点を当てます。

高調波バルクトラップは、UL に対応する半径方向トラップ周波数 ωr/(2π) ～ 200 Hz と、UH に対応する軸方向トラップ周波数 ωz/(2π) ～ 20 Hz を持ちます。 結果として得られる歳差運動周波数は、ω0 + ωr + ωz/2 となります。 したがって、以下の解析では軸方向トラップは無視できます。 したがって、ω0 で回転するフレーム内のすべての周波数を測定すると便利です。 バルクトラップのより詳細な分析は参考文献にあります。 18、19、20。

トラッピングポテンシャルの組織部分は、スピン軌道相互作用により局所的なマグノン密度を感じます。平衡組織は、磁場やサンプル容器の壁の配向効果を含む、自由エネルギーの寄与範囲を最小限に抑えます55。 重要な追加の寄与はスピン軌道相互作用エネルギーです

ここで \({{\Psi }}({{{{{{{\bf{r}}}}}}})\propto {\sin }^{2}{\beta }_{{{{{ {{{\bf{M}}}}}}}}}/2\) には、フィードバック効果を引き起こすマグノン密度の空間変動が含まれています。 つまり、バルクトラッププロファイルと時間結晶波動関数の形状は、dωB/dNB < 0となるようにNBに依存します。大きなマグノン数の限界では、バルクトラップ周波数は次のようになります13。

ここで、k > 0 は、テクスチャ トラップの剛性と磁場の最小プロファイル、p ≈ 5/7,13 および \({\bar{\omega }}_{{{{{{{{\rm {B}}}}}}}}}\) は、ゼロマグノンの限界における時間結晶トラップ周波数を表します。 ωB はマグノン時間結晶の崩壊中に変化しますが、その変化は ω0/(2π) ~ 1MHz に比べて非常にゆっくりであるため、波動関数は常に瞬間的なトラップ形状に対応すると仮定できることを強調します21。 表面トラップは自由表面の隣接によって固定化されるため、ωS は適切な近似に対して NS から独立していることに注意してください。

自己トラップ効果は、秩序パラメータテクスチャ 55,56、結果として生じるトラップ 20、時間結晶波動関数 13,14,21,57、および個体数減衰 18,19,24,58 の自己矛盾のない計算で数値的に記述することが可能です。 。 しかし、この記事で紹介する実験を理解するのにそれは必要ありません。 (7) は、必要に応じて実験データをフィッティングおよび数値微分することで回避でき、他のすべての影響は独立して測定できます。 簡単にするために、式を参照します。 (7) については以下の説明で説明しますが、非線形性の一般的な形式はより複雑であることに読者は留意してください。

人口変動の観察可能な結果を​​研究してみましょう。 振動振幅は回避された交差から遠く離れた実験からのみ確実に抽出できるため、AC ジョセフソン効果 6 に類似したジョセフソン効果の言語を使用します。 回避された交差点の近くでは、より一般的なラビ振動図を使用する必要があります。

AC ジョセフソン集団振動の振幅は次のとおりです。

ここで、Ω は結合であり、ΔNB ≡ −ΔNS です。 ジョセフソン周波数は ωJ = ∣ωB − ωS∣ です。 この振動は、自己トラップ式 (1) から次のようにバルク凝縮周波数 ωB を変調します。 （7）。 周波数変調 (FM) は、ほぼ正弦波です。 これは、母集団の振動の振幅が母集団全体に比べて小さいためであり、式 (1) は次のようになります。 (7) は線形化できます。

結果として得られる瞬時バルク時間結晶周波数 \({\tilde{\omega }}_{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}\) は次のように書くことができます。

ここで、ΔωB は FM 振幅です。 それは次の式によって母集団振動振幅 ΔNB に接続されます。

結果として得られる周波数変調信号をフーリエ分解すると、次のようになります。

ここで、Jn は第 1 種 n 次のベッセル関数です。 バルクメイントレースは n = 0 に対応します。上記の式を組み合わせ、最初の側波帯 (∣n∣ = 1) の振幅を ASB として表すと、結合項を線形化し、直接測定できる量で表すことができます。

ここで、式 (1) のバルク状態と表面状態の充填率が次のように仮定されます。 (2) は等しく一定です。 したがって、トラッププロファイルの変化により結晶の形状が変化している場合、上記の式を使用して抽出されたカップリングは近似値にすぎません。

バルク時間結晶のサイドバンドは、実験信号のフーリエ解析で見られます（図5d）。 式を使用してこのレコードから抽出されたカップリング。 (12) は交差点で Ω/(2π) ≈ 1.7 Hz に外挿し、近似されたシミュレーション値 Ω/(2π) ≈ 1.4 Hz とよく一致します。 バルク トレースよりも低い周波数に対称的に別の側波帯があるはずですが、それはまったく同じ周波数の表面トレースによってカバーされていることに注意してください。

表面トラップも同様の方法で弱く変更されるだけで、実験では目に見えるサイドバンドは生成されません。 つまり、完全に剛性の高いトラップにおける AC ジョセフソン効果は、2 つの波動関数の複雑な干渉によりサイドバンドを生じません。 これは、剛体非減衰結合システムのダイナミクスを解析的に解くことで確認できます。 この結果を使用して、以下で説明する数値シミュレーションの妥当性をテストしました。 参考文献に注意してください。 6 は、非線形フィードバックがない場合でも、母集団の振動が側波帯を直接引き起こすという誤解を招くような意味を含んでいます。

回避された交差点の近くでは、より一般的なラビ振動図を使用する必要があります。 ラビ領域のハミルトニアンの固有周波数を解くと、ラビ周波数 \({\omega }_{{{{{{{{\rm{R}}}}}}}}=\sqrt{{({ \オメガ }_{{{{{{{{\rm{B}}}}}}}}}-{\オメガ }_{{{{{{{{\rm{S}}}}}} }})}^{2}+{(2{{\オメガ }})}^{2}}\)。 極限 Ω ≪ ∣ωB − ωS∣ では、これは ωR = ωJ に還元されます。 ωR ≠ ωJ の領域は干渉効果のため、実験では直接見ることができません。

指数関数的な個体数の消散が存在する場合、結晶個体数は次のようになります。

ここで、1/τα は測定信号の緩和率 (2)、α はバルクの B または表面の S です。 表面時間結晶の場合、これは人口がゆっくりと減衰すること以外にはほとんど違いはありません。 バルク時間結晶周波数 ωB は、式 (1) に従って NB に依存します。 (7) したがって、周波数は減衰中に増加します。 したがって、ハミルトニアン (1) によって記述された柔軟な 2 レベル システムが得られました。

ωB(NB(t = 0)) < ωS となるように、ωB(NB = 0) > ωS および NB(t = 0) を選択しましょう。 ここで、表面時間結晶とバルク時間結晶の周波数は、Ω = 0 の固有基底で交差します。Ω > 0 で NB が断熱的に減少すると、バルク トラップ内のマグノンはスムーズに表面トラップに移動し、大域的な基底状態に留まります。横断を避けた。 ハミルトニアンから解くことができるように、回避された交差における全体的な基底状態と励起状態の最小周波数分離は 2 Ω です。

回避された交差が非断熱的に通過すると、基底状態のマグノン集団の一部が励起状態に移行します。 この現象は、ランダウ・ツェナー・シュテュッケルベルク・マヨラナ効果として知られています。 私たちの場合、これは、回避された交差の後、一部の個体群がバルクトラップに残ることを意味し、これはシステム内の新しい励起状態に対応します。 励起状態に昇格した集団の割合は59です。

ここで、∂t は時間導関数を表します。 正規のランダウ・ツェナー問題では時間導関数は一定ですが、この場合は変化し続けることに注意してください。 ただし、ランダウ・ツェナー人口移動の大きさは、時間窓 \(\sim\! 1/\sqrt{| {\partial }_{t}({\omega }_{{{{{{{ {\rm{B}}}}}}}}-{\omega }_{{{{{{{\rm{S}}}}}}}}})| }\) の踏切23 (実験では幅≲100ms)。 したがって、ωB(t) は線形化できます。つまり、回避された交差点で取得される時間微分により、正しいランダウ ツェナー分布分布が得られます。

時間結晶の 2 レベルのハミルトニアンは、遅い減衰と組み合わせて、次の 1 対の方程式にすることができます。

ここで、右辺はハミルトニアン (1) に対応し、i は複素単位です。 この一対の方程式は数値的に解くことができます。 数値シミュレーションに対する私たちの主な動機は、単純な 2 レベルのハミルトニアンがシステムのダイナミクスを網羅的に記述すること、つまり、大規模な人口移動が 2 レベルのハミルトニアンの固有の力学によって説明されることを示すことです。 この図の最も重要なテストは、回避された横断とそれに関連する人口移動です。 時間水晶周波数の周波数変調を引き起こすラビ振動の再現は、二次テストです。

初期時間結晶波動関数、時間結晶減衰率、およびバルク トラップの自己トラップべき乗則、式 (1)。 (7) は実験データから独立して抽出でき、数値シミュレーションのパラメータとして使用できます。 回避された交差における結合 Ω は実験から直接抽出することはできず、フィッティング パラメーターとして使用されます。 測定された信号と比較するには、充填係数 cα も必要です。 これらはフィッティングパラメータとしても使用されます。

一般に実験信号を再現するには、シミュレーションに 3 つの追加効果を含める必要があることに注意してください: (i) 表面時間結晶周波数はバルク トラップ内の個体数に依存し、(ii) 表面トラップ内の個体数にも依存します。 ; ωS = ωS(NB, NS)。 (iii) τB と τS は両方とも回避された交差で変化します。この遷移がスムーズに起こるようにするために、ラビ領域の漸近緩和率間の滑らかな補間関数を使用します。交差領域の幅は別のフィッティング パラメーターです。値 ~Ω−1。 効果 (i) は、時間結晶を分離するくびれが広がることによるものです (図 2)。 この関係はシミュレーションに含まれており、図4aのt < 1 sでのωSの減少として見られます。この場合、バルク個体数は大きく、表面個体数は無視できます。 ただし、回避された交差は小さなNBで発生するため、この効果は図3のランダウ・ツェナー効果の解析では無視しても問題ありません。 2 番目の依存性 (ii) は、図 4c のマゼンタの線の周波数振動を生み出すものです。 どちらの効果も実験データから独立して抽出できます。

この研究で使用されたデータは、アクセッション コード https://doi.org/10.5281/zenodo.6510863 で Zenodo データベースから入手できます。

シミュレーション コードとその使用に関するガイダンスは、合理的な要求に応じて対応する著者から入手できます。

この論文の訂正が公開されました: https://doi.org/10.1038/s41467-022-31647-z

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議論を刺激してくれた A. Vepsäläinen に感謝します。 この研究は、欧州連合の Horizo​​n 2020 研究およびイノベーション プログラム (補助金契約番号 694248) に基づいて欧州研究評議会 (ERC) によって支援されており、さらに補助金契約番号 824109 に基づく欧州連合の Horizo​​n 2020 研究およびイノベーション プログラムによっても支援されています。実験作業は、アアルト大学およびヨーロッパ マイクロケルビン プラットフォームのオタナノ研究インフラストラクチャの一部である低温研究所で行われました。 SA と VVZ は英国 EPSRC (EP/P024203/1、EP/W015730/1) から資金提供を受けました。 SA はジェニーおよびアンティ ヴィフリ財団からの支援、および PJH はフィンランド科学文学アカデミーのヴァイサラ財団からの支援を認めています。 私たちは、Aalto Science-IT プロジェクトによって提供される計算リソースを認めます。

低温実験室、応用物理学科、アアルト大学、POB 15100、FI-00076、アアルト、フィンランド

S. アウティ、PJ ヘイキネン、J. ニッシネン、JT マキネン、GE ヴォロヴィク、VV ザビヤロフ、VB エルツォフ

ランカスター大学物理学科、ランカスター、LA1 4YB、英国

S. アウティ & VV ザビヤロフ

ロンドン大学ロイヤル・ホロウェイ物理学科、サリー州エガム、TW20 0EX、英国

PJ・ヘイキネン

LD Landau 理論物理学研究所、モスクワ、ロシア

GE ボロヴィク

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この原稿は、著者全員の協力を得て SA によって書かれました。 実験は SA、JTM、PJH、VVZ、および VBE によって計画、実施、分析されました。 理論的作業は SA、GEV、JN、および VBE によって行われました。 プロジェクトは VBE によって監督されました。

S. Autti への通信。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

Nature Communications は、この研究の査読に貢献してくれた匿名の査読者に感謝します。

発行者注記 Springer Nature は、発行された地図および所属機関の管轄権の主張に関して中立を保っています。

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転載と許可

オーッティ、S.、ヘイッキネン、PJ、ニッシネン、J. 他量子時間結晶の非線形 2 準位ダイナミクス。 Nat Commun 13、3090 (2022)。 https://doi.org/10.1038/s41467-022-30783-w

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受信日: 2021 年 6 月 30 日

受理日: 2022 年 5 月 14 日

公開日: 2022 年 6 月 2 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41467-022-30783-w

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通信物理学 (2022)

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