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Apr 20, 2023

振幅変調によるピンク ノイズの単純なモデル

Rapporti scientifici Volume 13,

Scientific Reports volume 13、記事番号: 8364 (2023) この記事を引用

121 アクセス

メトリクスの詳細

我々は、蓄積された周波数を持つ波に基づいて、ピンクノイズ（または1/fゆらぎ）の起源に関する簡単なモデルを提案します。 これらの波は、同期、共鳴、赤外線発散を伴うシステム内で自発的に発生します。 蓄積された周波数を持つ多くの波は、小さなサイズのシステムから任意の小さな周波数の信号を生成することができます。 このビートのメカニズムは振幅​​変調として理解できます。 ピンク ノイズは復調プロセスの後に現れる可能性があり、多くの分野でさまざまなピンク ノイズが生成されます。 このようにビートから形成されるピンクノイズは、散逸や長期記憶とは何の関係もありません。 また、地震、太陽フレア、恒星の活動におけるピンクノイズを観察する新しい方法も提案します。

ピンクノイズはいたるところに存在します。 このノイズは、パワー \(-\alpha\)、(\(0.5<\alpha <1.5\)) のパワー スペクトル密度 (PSD) の非常に低周波領域におけるべき乗則の動作によって特徴付けられます。 このノイズは、1/f ゆらぎまたはフリッカー ノイズとも呼ばれます。

真空管電流中のピンクノイズが最初に発見されて以来 1、同じノイズが多くのシステムで観察されてきました。半導体、薄い金属、生体膜、水晶振動子、非常に長期間の温度変化、オーケストラ音楽の大音量、地球の変動などです。自転速度、宇宙線の強度変動、心拍、姿勢制御、脳磁図、脳波など2,3。

ピンクノイズの起源については多くの議論がなされています2、3、4、5があり、明確な結論は出ていないようです。 ピンクノイズを引き起こすモデルは数多く提案されていますが、普遍的なメカニズムは発見されていません。

ピンク ノイズはいたるところに存在するため、メカニズムは十分に単純である必要があります。 しかし、標準的な統計力学の基本的な概念と技術の応用はすべて、矛盾や論争に遭遇しているようです。 その後、人々は標準的な統計力学の理論を書き換えることができる、より基本的な概念を検討する傾向がありました。

任意の低周波変動を生成する典型的なメカニズムは、一次高周波変動の波打ち、または振幅変調です。 周波数が狭い範囲に集中していれば、この振幅変調はピンク ノイズに対して成功します。 その場合、二次ビート波はより低い周波数を持つことができます。 著者の一人は、音や音楽のピンクノイズに対してこのメ​​カニズムをすでに提案しています6。

さらに、この集中は、べき乗則 PSD を形成するために協力的かつ体系的である必要があります。 ピンクノイズを生成できる少なくとも 3 種類の協調システムを提案します。 それらは、(a) 同期、(b) 共鳴、および (c) 赤外線 (IR) 発散です。

ピンクノイズが振幅変調である場合、復調メカニズムも存在するはずです。 これは、変調されたデータ全体が高周波情報のみを持つのに対し、復調後のデータはピンクノイズを含む低周波情報を明示できるためです。 復調メカニズムはシステムに固有のものであることも、測定手順で準備されることもあります。 多くの復調メカニズムにより、元の信号の 2 乗、整流、しきい値処理など、ピンク ノイズ現象が多様化されます。たとえば、電流または電圧が生体内のしきい値を超えると、発火が発生し、神経細胞にスパイクが生成されます。 。 したがって、電流内のピンクノイズの可能性が神経信号に伝達されます。

次のセクション「方法」で議論を開始し、ピンク ノイズの起源に関する重要な手がかりを列挙します。 これらはすべて、ピンクノイズが振幅変調である可能性を示しています。 次に、変調を引き起こす 3 つのメカニズムを提案します。 まず、最も一般的なメカニズムの同期について説明します。 (a) 指数関数的同期では \(-1,\) の検出力指数が得られ、べき乗則同期では \(-1\) とはわずかに異なる検出力指数が得られることがわかります。 次に、(b) 共振によってもピンク ノイズが生じます。これは、基準周波数付近の励起固有モードの集中が、関連する領域の指数関数によって体系的に近似されるためです。 さらに、(c) 制動放射における赤外線の発散により、ピンク ノイズが発生する可能性があります。 最後に、ピンク ノイズの堅牢性と、さまざまなピンク ノイズを生成するいくつかの復調メカニズムについて説明します。 結論セクションでは、方法セクションで提示されたポイントに基づいて、私たちの提案と可能な検証を要約します。 また、さまざまなシステムにおける振幅変調の見通しについてもまとめます。

ここで、ピンクノイズの起源についての重要な手がかりをいくつか挙げていきます。 このプロセスは、統計力学のどの原理がピンク ノイズの説明に役立ち、どの原理が役に立たないかを明らかにできるため、非常に重要です。

ピンク ノイズを示す波システムは、多くの場合、音波、電流、気体と液体の流れなどの波です。波は互いに干渉する可能性があります。 したがって、波の干渉がピンクノイズを発生させる手がかりとなる可能性があります。

小さなシステムと一見長いメモリ 超低周波信号が小さなシステムから発信されるというのは奇妙なことです。 極端な例 7 として、2.5 nm 層の半導体膜ではピンクノイズが観察されます。 小さな半導体には、\(10^{-7}\,\textrm{Hz}\)8 までのピンク ノイズが発生する可能性があり、半導体を介した電圧変動では、約 \(1\,\textrm{Hz}\) からのピンク ノイズが発生します。 ) を \(10^{-6.3}\,\textrm{Hz}\)9 にします。 これらの顕著な低周波数は、通常の小型システムではほとんど不可能に聞こえます。 この文脈では、ウィーナーヒンチンの定理 \(S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }d\tau \int _{-\infty }^{\infty }dt\langle x(t)x(t-\tau )\rangle e^{-2\pi i\omega \tau }\) は正しかったので、\(S(\omega )\) の強い低周波信号はピンク ノイズは必然的に、非消失の長時間相関 \(\langle x(t)x(t-\tau )\rangle\) を示します。 おそらく、この定理の時間平均は物理的なものではあり得ません。非定常時系列に対しては明確に定義されていない可能性があり、有限範囲のデータに対して正確に評価することはできません。

PSD には明らかに下限カットオフがない ピンク ノイズには、システムを支配する物理学によって決まる PSD に明示的な下限カットオフがないように見えることがよく議論されます。 ピンクノイズを示すシステムは静止していない可能性があります。 したがって、システムの定常性に基づいて議論することは無駄かもしれません。

散逸からの独立性 注目すべきことに、ピンク ノイズはハミルトニアン平均場 (HMF) モデルでも現れます。これは厳密に保守的なシステム 10 であり、散逸とは何の関係もありません。 したがって、タイプ \(\left\langle \delta x^{2}\right\rangle \propto RkT\) の通常の変動散逸定理は、ピンク ノイズには当てはまらない可能性があります (R は電気抵抗、kT は温度です) ）。

元の信号の二乗 ピンク ノイズを導出する場合、PSD 解析の前に元の時間シーケンスが二乗されることがよくあります。 たとえば、music11 の場合、PSD では音波データを常に 2 乗する必要があります。 著者らは、この二乗データがラウドネスであると主張しています。 同様に、HMF モデル 10 の場合、著者らは常に元の変数の 2 乗を取得してピンク ノイズを取得します。 どちらの場合も、平方をとる前の元のデータにはピンク ノイズがありません。 電流の場合、この手順は明確ではありませんが、独創的な論文 1 では PSD の電圧の 2 乗 \(V^{2}\) が強調されています。

上記の 5 つの手がかりから、蓄積された周波数を持つ多くの波のビートが 1/f ノイズの起源である可能性があると推測されます。 2 つの波の単純な重ね合わせ \(\sin (\omega t+\lambda t)+\sin (\omega t-\lambda t)=2\cos (\lambda t)\sin (\omega t)\) を \ (\omega \gg \lambda >0\) には、PSD の \(\lambda\) の周囲に低周波成分がありません。 一方、上の重ね合わせ波の 2 乗には、PSD の \(2\lambda\) 付近に低周波信号、つまりビートが含まれています。 ちなみに、2つの波の元の重ね合わせのPSDには対応する低周波信号が示されていないにもかかわらず、音波のビートが「聞こえる」と混乱することがあります。

上記の議論は、波のビートを使用する典型的な楽器であるテルミン 12 を思い出させます。 電気回路で生成された1000kHzと999.560kHzの高周波信号を混合することで、440Hzの低周波信号を可聴音として取り出すことができます。 後者の周波数は、プレイヤーの手、アンテナの距離、および静電容量によってわずかに変更して、目的の周波数信号を生成できます。 したがって、振幅変調は、小型システム内で任意の低周波信号を生成できます。 変調された信号には固有のメモリがなく、散逸とは何の関係もありません。

もう 1 つのよく知られたデバイスは、波のビートまたは振幅変調 (AM) を明確に示す AM ラジオです。 526.5kHz～1606.5kHzの電波を利用して、低周波の可聴信号を抽出します。 この場合、可聴の低周波信号を得るために整流（復調）プロセスが不可欠です。 この復調プロセスは、私たちの提案におけるピンクノイズにも不可欠です。 後のセクションでは、さまざまな復調方法でのさまざまなピンク ノイズについて見ていきます。

以上の5点は、私​​たちの提案の初歩的な検証にもなります。 これについては後のセクションで説明します。

ピンクノイズを形成する波のビートにはいくつかの原因があるようですが、波の周波数の集中が低周波信号の本質です。 このような原因については、(a) 同期、(b) 共振、および (c) 赤外線発散の各セクションで個別に取り上げます。

このセクションでは、特に波の周波数が自発的に近づく場合の波のうなりの原因を分析します。 この挙動を示す協調システムを考えます。

最も典型的なタイプの同期は、Kuramoto モデル 13 の場合のような指数関数的アプローチです。\(\omega =e^{-\lambda t}\) ここで、\(\omega\) は周波数、\( \lambda\) は進入速度、t は時間です。 このとき、頻度分布関数 \(P(\omega )\) と時間分布関数 p(t) は \(P(\omega )d\omega =p(t)dt\) で関係付けられます。 変動が定常であると仮定すると、\(p(t)\equiv p=const\) となります。 それから、

興味深いのは、指数関数によって検出力指数が正確に \(-1\) になることです。

観測されたビートは上記のペアの周波数分布の干渉であり、ビート周波数 \(\Delta \omega\) の確率分布関数 \(Q(\Delta \omega )\) は次のとおりです。

これも \(\left( \Delta \omega \right) ^{-1}\) に比例しますが、修正係数は \(\ln [...\Delta \omega ]\) です。 完全な形式 \(Q(\Delta \omega )\) の詳細は、積分領域 \(\omega _{1}<\Delta \omega <\omega _{2}\) の境界によって異なります。 代表的な例を図1に示します。

式の \(Q(\Delta \omega )\) の例 (2) \(p=1,\lambda =1,\omega _{2}=10^{5}\) および \(\omega _{1}=10^{-4},10^ の場合) {-6}\) (それぞれ実線と破線の曲線)。 \(Q(\Delta \omega )\) の詳細な動作は、積分の上限と下限によって異なります。

ピンク ノイズは強力であり、周波数分布はそれらの周波数の波の PDF に直接反映されます。

ここで、\(\omega\) は基準周波数、c は混合定数、\(r_{i}\) は各正弦波のある範囲のポアソン確率変数、i は 1 からある上限までの値です。 この一般的なモデルは静的ではありますが、多くの動的システムを含む累積周波数の重ね合わせを表します。 これは、\(\phi ^{2}\) の PSD が示されている図 2 に示されています。

\(\phi ^{2}\) の PSD は \(\omega =10\)、\(c=0.2\) で示され、r は範囲 [0, 30] のランダム フィールドです。 1,000 個の正弦波が式 (1) に従って重ね合わされます。 (3)。 パワーインデックスは実行ごとに最大約 0.1 変化する可能性があります。 この PDF は、40 年間の指数 \(-1\) のピンク ノイズを示しています。

図 2 と同じですが、正弦波はランダムな位相 \(\theta _{i}\)、\(\,(0\le \theta _{i}<2{\pi })\) とそれぞれのランダム振幅 \(a_{i}\,(0\le a_{i}\le 1)\): \(\phi \left( t\right) =\sum _{i}a_{i} \sin \left( 2\pi \omega (1+ce^{-r_{i}})t+\theta _{i}\right)\)。 パワー インデックスは \(-0.9\) に少し低下しますが、この PDF は波のビートからのピンク ノイズの堅牢性を示しています。

ピンク ノイズは堅牢であり、図 3 に示すように、パワー インデックスがわずかに減少することを除いて、正弦波の各位相のランダム化によって PDF は変化しません。

図 1 のように、信号 \(\phi ^{2}\) の 2 乗が PSD でピンク ノイズを示すことが重要ですが、元の信号自体 \(\phi\) は低周波数では何の特徴も示しません。この事実は、ピンクノイズが波のビートから生じていることを明らかに示しています。

図 2 と同じですが、これは元の信号 \(\phi\) の PDF です。 この場合、ピンク ノイズはまったく表示されません。これは、ノイズが波のビートから発生していることを示しています。

もう 1 つの一般的なタイプの同期は、電力アプローチ \(\omega =t^{-\alpha }\) です。 上記と同じ計算を繰り返すと、次のような頻度分布関数が得られます。

ここで \(c\equiv p\alpha ^{-1},\beta \equiv \left( 1+\frac{1}{\alpha }\right) .\) 確率分布関数 \(Q(\Delta wビート周波数 \(Q(\Delta w)\) の )\) は次のように与えられます。

それから、

小さい \(\omega _{1}\) と小さい \(\Delta \omega .\) に関して展開すると、 \(\alpha >0\) の指数は \(-1\) より小さくなります。 \(\alpha <0\) の場合 \(-1\) より大きくなりますが、基準度は \(-1\) です。 代表的な例を図5に示します。

\(p=1,\lambda =1,\omega _{2}=10^{5}\) および \(\omega _{1} の場合の \(Q(\Delta \omega )\) の例=10^{-4},c=1,\beta =1.2\) および 1.33 (それぞれ実線と破線)。

典型的な波信号は以前と同様に構築できます。

\(\phi ^{2}\) の PSD は、\(\alpha =3\) の場合は図 6 に、\(\alpha =-3.\) の場合は図 7 に示されています。

PSD は、\(\phi ^{2}\)、\(\alpha =3,{\omega =10}\)、\(c=0.3\)、および \(r_{i}\) について示されています。 [0,20] の範囲のランダム フィールド。 100 個の正弦波が式 (1) に従って重ね合わされます。 （7）。 この PDF は、40 年間の指数 \(-1.4\) のピンク ノイズを示しています。

PSD は \(\phi ^{2}\)、\(\alpha =-3, {\omega =10},\) \({c=0.03}\)、および \(r_{i} を使用して表示されます) \) は [0,1] の範囲のランダム フィールドです。 1,000 個の正弦波が式 (1) に従って重ね合わされます。 （7）。 この PDF は、30 年間の指数 \(-0.8\) のピンク ノイズを示しています。

上記のデモは、周波数を累積した典型的な単純な波のモデルですが、周波数は固定されています。 ただし、時間に依存する周波数を持つ動的協調システムを考慮することもできます。これらのシステムではピンク ノイズが発生することがよくあります。 巨視的結合スピンモデル14とハミルトニアン平均場モデル10。 これらについての説明はこのドキュメントの範囲を超えているため、近いうちに別のドキュメントで説明します。

ここで、周波数の自発的な集中と波のビートを生み出す共鳴について考えます。 固有固有周波数 \(\Omega\) を持つシステムが (繰り返し) 刺激されると、周波数 \(\Omega\) の波動モードと \(\Omega\) に近い波動モードが放射されます。 したがって、共振により、周波数が狭い範囲に集中します。 これらの周波数は互いに近いため、これらの周波数の波が打ち合い、低周波領域の信号が生成されます。

共鳴曲線、コーシー分布によって特徴付けられる共鳴の典型的なケースを仮定します。

ここで、 \(\Omega\) は共鳴周波数であり、 \(\kappa\) は共鳴の鋭さを特徴付けます。 この関数 \(R[\omega ]\) は共振器内の \(\omega\) モードの数に比例すると解釈します。 この場合、頻度分布関数 \(P(\omega )\) は \(R[\omega ]\) の逆関数によって次のように与えられます。

ここで、\(R[\omega ]\) の逆数の上半分を選択しました。これは、下半分が上半分と対称であるためです。

式の単純な近似を行うことが可能です。 (9) 指数関数 \(\omega =Ae^{-Bt}\) による式。ここで、定数 A、B は式 (9) の変曲点で決定されます。 図 8 に示すように (9)。この指数関数が PSD の傾き \(-1\) の正確なピンク ノイズを与えることはすでにわかっています。

これは図 9 に示されています。図 9 では、次のように生成された時間シーケンス \(\phi (t)\) の平方 \(\phi (t)^{2}\) に対して PSD がプロットされています。

式のデモンストレーション (9) 対数線形グラフ。 関数 \(\omega (t)\) は、特に大きな t の範囲では、\(\omega (t)\) の変曲点で同じ傾きを持つ指数関数 (点線の直線) で近似できます。低周波ビートに関係します。

式 (1) によって生成される時間シーケンス \(\phi (t)^{2}\) の PSD (10) \(\kappa =0.1,\Omega =10,\) であり、ランダムフィールド \(r_{i}\) の定義域は [0, 10] です。 100 個の正弦波を重ね合わせました。この PSD は、指数 \(-1.3\) の近似べき乗則を示しています。

しかし、システム分析は簡単ではありません。 \(P(\omega )d\omega =p(t)dt\) と \(p(t)\equiv p=const\) の関係を使用して、頻度分布関数 \(P(\omega )\ を取得します。 ） として

\(\kappa\) が有限の場合、これを単一の累乗形式に還元することはできません。

実際の共鳴システムには、ピンク ノイズに体系的に寄与する複雑な倍音と複数の固有周波数が含まれているため、さらに複雑な問題が発生します。 各コンクリート共鳴システムのピンク ノイズを完全に体系的に導出するには、さらなる調査が必要です。 これはこの文書の範囲を超えているため、ここではこれ以上説明しませんが、すぐに別の文書で分析する予定です。

ここで、赤外線発散による周波数の自発的集中の 3 番目の原因を検討します。 ピンクノイズを示すこのクラスのシステムは非常に多様ですが、電気力学で記述される電子と光子で構成されるシステムに還元できます。

これに関連して、散乱前状態と散乱後状態の間の電子の量子干渉を使用することにより、ピンク ノイズの量子起源がかつて提案されました 15,16。 彼らは、周波数 \(\omega\) の光子の放出後の散乱後の電子状態と散乱前電子の状態が互いに干渉し、周波数 \(\omega\) のビートを生成すると主張しています。 しかし、この理論は批判されています17,18。主な理由は、量子干渉は実際には起こらないからです。 散乱前と散乱後の状態は互いに直交しており、干渉する可能性はありません。 コヒーレント状態基盤を導入しても機能しません。 ちなみに、他のいくつかの批判は無効です。

ピンクノイズの本質は、電子の自己干渉ではなく、質量のない粒子の放出に伴う、より巨視的な半古典的物体の位相変調である可能性があります。 このセクションでは、このような電磁気学の半古典的な記述に焦点を当てます。

半導体では、電子は、格子サイズの数倍に相当する約 10 nm の自由流動長のスケールを超えて古典的になる可能性があります。 系のサイズが約 1 mm の場合、系内にはこのような局所的なコヒーレント要素が \(10^{10}\) 個存在します。 このようなコヒーレント要素内の電子は、波束の観点から説明できます。

ここで、 \(\phi \left( k\right)\) は重み関数を表し、 \(v_{g}=d\omega /dk\) は群速度を表します19。 波束の中心は電子の運動の古典的な限界を表し、波束の広がりは干渉を表す可能性があります。

電子の波束が不純物に遭遇すると、光子の放出により、放出されたエネルギーによって周波数が変化します。 エネルギー \(\hbar \omega\) の光子放出確率は \(\omega ^{-1}\) に比例し、波束の周波数変調は \(\omega\) になります。これが赤外線発散です。量子電気力学（QED）20。

システム内のこれらの波束は同じ方向に伝播し、カスケード、分岐、合体します。 周波数変調は伝播中に互いに混ざり合います。 波束の基準周波数は \(\omega _{0}\) であると仮定します。これは、印加電圧と導電率によって決まります。 次に、元の波パケットは、周波数 \(\omega _{0}-\omega _{i},i=1,2,\ldots\) を持つ膨大な数のローカル パケットの重ね合わせに変換されます。 これらのパケットの各ペアは、考えられるすべての違いを持つビートを作成します \(\left( \omega _{0}-\omega _{i}\right) -\left( \omega _{0}-\omega _{j} \right) =\omega _{j}-\omega _{i}.\) したがって、システムは膨大な数 N のローカル波パケット \(\psi _{i}(x,t)\), \ で満たされます。 (i=1,2,\ldots\,N\)。 合計電流はそれらすべてを重ね合わせたものです

ここで、波束の二次形式は各パケットの復調に対応するため、この電流にピンク ノイズが現れます。 このプロセスは、前の指数関数的アプローチの場合と同じであり、わずかに異なる周波数を持つ多くの波束が干渉して、式 1 のような波のビートを与えます。 (2) したがって、ピンクノイズは図 2 のように表示されます。

ピンク ノイズの生成には、放出された光子を含む完全な量子干渉は必要ありませんが、同期した波を持つ膨大な数の波束が重要であることに注意することが重要です。 放出された光子はシステム内で容易に吸収されるため、システムを囲むファラデーケージがあったとしても、電流変動にはまったく影響を与えません18。

これに関連して、QED のコヒーレント ドレッシング状態形式主義は、質量のない光子に関連する赤外線発散をキャンセルするために開発されました 21,22。 ほとんどの著者は（半）古典的な背景電流を最初から仮定していますが、古典的な自由度は正しく導出されません。 QED における古典的自由度の導出は、不安定な状態に関連する有効な作用の閉じた時間経路形式で可能です。 理論の IR 発散には、古典的な統計カーネルを複雑な有効作用から分離する必要があります。 次に、古典的なノイズを含むランジュバン方程式が有効作用から導出され、電流の古典的な発展を説明できます23。

この形式主義には、ここで説明できる以上に体系的な議論が必要です。 ただし、この理論については、古典量子干渉も含めて別の論文で報告する予定です。

これまでに、系統的なビートを与え、ピンクノイズを発生させる同期波の発生源を 3 種類提案しました。 ピンクノイズは波打ちや振幅変調によって発生するため、観測には復調処理が必要です。 この復調プロセスは、(a) システムに関連付けられた固有のメカニズム、または (b) PSD のデータ削減に関連付けられた運用プロセスである可能性があります。 いずれの場合も、復調プロセスにより堅牢性とさまざまなピンク ノイズが提供されます。 このセクションでは、そのような堅牢性と多様性の例をいくつか紹介します。

基準信号は、「指数関数的アプローチ」で説明したもので、図 2 と同じパラメータ、\(\omega =10\)、\(c=0.2\)、および \(r_{i}\) を使用します。 [0, 30] の範囲のランダムなフィールド。 そこでは、\(10^{3}\) の正弦波が式 (1) に従って重ね合わされます。 （7）。 二乗信号 \(\phi ^{2}\) は、図 2 のように傾き \(-1.0\) の明確なピンク ノイズを示します。

\(\phi ^{2}\) の閾値 平均値より小さい \(\phi ^{2}\) データに対して新しいデータをゼロに設定し、他のデータはそのままにします。 PSD は \(-1.0\) の傾きを持つピンク ノイズを示し、基準の場合とほとんど変わりません。 このケースは神経系に当てはまる可能性があり、あるしきい値よりも大きい電圧のみがスパイク信号を生成できます。

\(\phi ^{2}\) のオンオフしきい値 平均より小さい \(\phi ^{2}\) データの新しいデータを 0 に設定し、他のデータを 1 に設定します。 PSD \(-0.94\) の傾きを持つピンク ノイズを示します。

\(\phi ^{2}\) のオンオフ逆しきい値 これはケース 3 の逆です。平均より小さい \(\phi ^{2}\) データに値 1 を設定し、もう一方の \(\phi ^{2}\)data は 0 に設定されます。PSD には、ケース 3 と同じように \(-0.94\) の傾きを持つピンク ノイズが表示されます。

元のデータ \(\phi\) のしきい値。平均より小さい \(\phi\) データには新しいデータをゼロに設定し、他のデータはそのまま設定します。 PSD には、\(-0.98\) の傾きを持つピンク ノイズが表示されます。

元のデータ \(\phi\) の修正 \(\phi\) の負のデータについては新しいデータをゼロに設定し、他のデータはそのままにします。 PSD には、\(-1.2\) の傾きを持つピンク ノイズが表示されます。 これは、トランジスタ、ダイオード、真空管を含む一部の電気回路に適用される場合があります。

局所的に平均化された \(\phi ^{2}\) のシーケンス \(\phi\) の時間シーケンス全体を \(10^{3}\) のセグメントに分割し、各セグメントに二次平均を適用します。 PSD には、\(-1.1\) の傾きを持つピンク ノイズが表示されます。 これは元の実験1でのデータ処理です​​。

局所的に平均された \(\phi\) のシーケンス ケース 7 と同じですが、各セグメントに単純な平均を適用します。 PSD にはピンク ノイズが示されておらず、検出力は正の \(+0.8\) です。

\(\phi ^{2}\) の粗い時間分解能 サンプル点の数を元の半分に減らします。 PSD には、\(-1.1\) の傾きを持つほぼピンク ノイズが表示されます。

重畳波の減少 基準 \(10^{3}\) から重畳波の数を 10 に減らします。PSD にはピンク ノイズが表示されません。

重ね合わせた波の数を増やす 基準 \(10^{3}\) から \(10^{4}\) まで重ね合わせた波の数を増やします。 PSD には、\(-0.94\) のパワーのピンク ノイズが表示されます。

より長い時系列 基準 \(10^{4}\) から \(10^{5}\) まで時系列を拡張します。 PSD には、\(-1.0\) の傾きを持つピンク ノイズが表示されます。 以前と同じですが、べき乗則が 10 年延長されました。

複数の基準周波数 基準周波数を元の 1 つから 5 に変更し、0 ～ 20 からランダムに選択しました。PSD には、\(-1.5\) の傾きを持つピンク ノイズが表示されます。

上で検討したように、複数の復調プロセスがあります。 これらは、(a) システム固有のものと、(b) データ削減における運用上のものとして分類されますが、この分類は排他的ではありません。 (a) の例は、しきい値処理と修正です: ケース 3、4、5、6。 (b) の例はデータの二乗です: ケース 1、2、7。ケース 9、11、12、13 はピンク ノイズのある程度の堅牢性を示しています。

私たちは、指数 \(-\alpha\), (\(0.5<\alpha <1.5\)) のべき乗則でノイズを定義することによってピンク ノイズを広く検討し、この動作を示すモデルを研究しました。 ただし、正確に検出力 \(-1\) を示すクラスのシステムが存在します。 私たちのモデルは、セクション 2 の指数関数的なアプローチを除いて、この正確な電力 \(-1\) を説明できません。 「指数関数的アプローチ」。 今後、指数関数的アプローチモデルがどの程度一般化できるのかを検討していきたいと考えています。

ピンクノイズの起源は、周波数が蓄積された波のビートであることについて説明しました。 私たちは、この協調効果の考えられる 3 つの原因、同期、共鳴、IR 発散を調べました。 もっと多くのメカニズムがあるかもしれません。 セクション 1 のピンク ノイズに関する 5 つの重要な観察に基づいて、モデルの検証可能性/反証可能性を指摘します。 「方法: ピンクノイズに関するいくつかの重要な手がかり」。

波 波は、ビートと振幅変調を生成するために不可欠です。 波はシステム内に隠蔽され、しきい値を通過した後にデータが取得される場合があります。 システム内でコヒーレントな波が見つからない場合、モデルを適用することはできません。

小さなシステムと明らかに長いメモリ ウィーナー・ヒンチンの定理をピンク ノイズに適用すると、メモリが非常に長いことが示される可能性があります。 ただし、私たちのモデルによれば、この長いメモリは必須ではありません。 ピンクノイズを示す実際の長いメモリがシステム内に見つかった場合、私たちのモデルは必須ではなくなります。

PSD には明らかに下限カットオフがありません。蓄積された周波数または振幅変調による波のビートにより、観測上の制約内の有限システム内から無限の低周波数信号が生成される可能性があります。 したがって、ピンク ノイズに固有の低域カットオフ周波数が見つかった場合、このモデルを適用することはできません。

散逸からの独立性 波のビートや振幅変調は、波の合成によって引き起こされる二次的な変動です。 したがって、散逸は壊れやすい波のビートを打ち消す可能性があるため、ピンクノイズを破壊する可能性があります。

元の信号の二乗（復調処理の必要性） 振幅変調は観測のために何らかの復調処理が必要です。 復調前の主な変動は PSD には現れません。 ピンク ノイズのモデルは、復調プロセスを (a) システムに固有のもの、または (b) データ削減で動作するもののいずれかとして予測します。 ピンク ノイズのシステム内で復調が検出され、復調プロセスが削除されるとピンク ノイズが消える場合、私たちのモデルが強く支持されます。

ピンクノイズの基本モデルを提案しましたが、現在の形式主義を詳しく説明するにはまだ多くの問題があります。 すでに「別紙」というキーワードで適切な場所に記載されているものもあります。 それらは、動的協調システム、実際の共振システム、および IR 発散を伴うシステムです。 その中で、共鳴する可能性のあるシステムを表 1 にまとめます。

表 1 のリストは暫定的なものであり、不完全です。 これは、単純なピンク ノイズ モデルの検証を含め、今後の出版物で完成する予定です。

現在の研究中に使用および/または分析されたデータセットは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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ランチタイムリモートミーティングでは、多くの刺激的な議論をしていただきましたことに感謝いたします。 MM さんは、啓発的な議論をしていただいた小林勝義氏 (お茶の水女子大学) に感謝します。 AN は、多くの検証について話し合っていただいた松井真奈也氏と上坂泉美氏（京都産業大学）に感謝します。

Department of Physics, Ochanomizu University, 2-1-1, Otsuka, Bunkyo, Tokyo, 112-8610, Japan

Masahiro Morikawa

General Education, Kyoto-Sangyo University, Motoyama Kamigamo, Kita-ku, Kyoto, 603-8555, Japan

Akika Nakamichi

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MM と AN は主な原稿テキストを書き、図を作成しました。 1、2、3、4、5、6、7、8、9。著者全員が原稿をレビューしました。

Correspondence to Masahiro Morikawa.

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

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転載と許可

森川 M.、中道 A. 振幅変調によるピンク ノイズの単純なモデル。 Sci Rep 13、8364 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-34816-2

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受信日: 2023 年 1 月 26 日

受理日: 2023 年 5 月 8 日

公開日: 2023 年 5 月 24 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-34816-2

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