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Oct 29, 2023

保守的なハミルトン系とボーズのキメラパターン

Rapporti scientifici Volume 13,

Scientific Reports volume 13、記事番号: 8590 (2023) この記事を引用

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メトリクスの詳細

位相コヒーレンスとインコヒーレンスが共存する領域を特徴とするキメラ パターンの実験的実現は、これまでのところ、散逸を伴う非保存的なシステムに対して、もっぱら古典的な設定で達成されてきました。 量子系でキメラパターンを観察できる可能性はほとんど研究されておらず、キメラパターンが閉じた、または保守的な量子系に存在できるかどうかは未解決の問題のままです。 ここでは、エネルギーが明確に定義され保存される、非ローカル ホッピングを備えた保守的なハミルトニアン システムを最初に提案することで、これらの課題に取り組みます。 我々は、そのような系がキメラパターンを示す可能性があることを明示的に示します。 次に、追加の仲介チャネルを使用することによる非ローカル ホッピングの物理メカニズムを提案します。 これにより、スピン依存光格子を備えた 2 成分ボース・アインシュタイン凝縮 (BEC) に基づく実験的に実現可能な量子システムの提案につながります。このシステムでは、トラップされていない成分が物質波媒介場として機能します。 この BEC システムでは、数十の格子サイトにわたる非局所的な空間ホッピングが実現でき、シミュレーションでは、キメラ パターンが特定のパラメーター領域で観察可能であることが示唆されています。

キメラ パターンは、位相コヒーレンスと位相インコヒーレンスの空間的に局所的な領域が共存することを特徴とし、並進不変性を持つシステムの対称性を自発的に破ります 1、2、3、4。 これらのパターンは、非局所拡散結合を伴う複素ギンツブルグ・ランダウ方程式 (CGLE)8,9 の研究で最初に特定されました 5,6,7。 発見から約 10 年後、これらのパターンは化学、機械、光学、電子、光電子システムで実験的に実証されました 10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20。 キメラ パターンは神経系でも発生し、これらのパターンが特定の生物学的機能に役立つ可能性があることを示唆しています 21,22。 キメラパターンの理論研究は、励起子-ポラリトン31,32、結合導波路など、自然科学の幅広いシステムにわたって行われています1、2、3、4、23、24、25、26、27、28、29、30。物理システムの例としては、共振器 33 やメタマテリアル 34 などがあります。 長年にわたり、研究はさまざまな発振器、接続トポロジー、パターン、物理的特性に加え、キメラ パターンのさまざまな概念にも拡張されました 1、2、3、4、27、35、36。 これまでのところ、キメラパターンはもっぱら古典的な散逸系および非保存系を含む実験で観察されてきました。 量子システムでは、キメラパターンの限られた研究のみが行われています。 それらはすべて、タイムクリスタルなどの駆動と散逸を備えたオープン量子システム設定にあります37、38、39。 したがって、どのような閉鎖系や量子系がキメラパターンを示すのかはまだ明らかではありません。

ここでは、ハミルトニアンアプローチを使用して、保存的システムと量子システムにおけるキメラパターンの存在を調査します。 古典物理学では、システムとそのダイナミクスは、ハミルトニアン 40 と呼ばれるシステム パラメーターの観点からシステムの総エネルギーを指定することによって完全に定義できます。 閉じた保存系は、エネルギーが一定の時間独立のハミルトニアンによって指定できます。 このようなハミルトニアンでは、既知の量子化規則 ansatz を使用して量子システムに一般化する簡単な方法があります。 ここで考慮する特定のハミルトニアン系は、多成分ボース アインシュタイン凝縮 (BEC)41、42、43、44 です。これらには、グロス ピタエフスキー方程式 (GPE)45、46 と呼ばれる、対応する平均場動的方程式のセットがあります。 47. 1 コンポーネントの GPE は、特定の制限および拡張を加えた CGLE の特殊なケースと見なすことができるため、両方とも大域的な位相対称性と 3 次の非線形性を備えています。 歴史的に、CGLE は、ホップ分岐 (静止系が振動し始める臨界点) に近い空間的に拡張された系の正規形に対応し 9,49、非線形波などの多くの物理系を現象論的に記述します 8,50。 CGLE の典型的なレジームとは異なり、GPE は局所的に、固定エネルギーとリミット サイクルのない非減衰の非線形発振器として動作します (図 1 を参照)。 振動のハミルトニアン定式化と同期性の出現に焦点を当てた以前の研究は、ハミルトニアン系における倉本ダイナミクスの存在を証明し、したがって散逸と保存ダイナミクスを明確に結び付けました。 これは、キメラ パターンが保守的なシステムにも存在する可能性を示唆していますが、概念実証はまだ確立されていません。 ここで示すように、キメラ パターンは、BEC だけでなく特定の保守的な系でも実際に観察できます。

この論文は 3 つのパートに分かれており、各パートではキメラ パターンを引き起こす可能性のあるハミルトニアン システムを紹介します。 最初の最も一般的なモデルは、非ローカル ホッピング モデル (NLHM) です。これは、非ローカル ホッピングを備えた離散 GPE の一般化、またはボーズ ハバード モデル (BHM) の平均場理論と考えることができます。調整可能な非ローカルホッピングを使用します。 このモデルは、量子領域ではほとんど研究されていません 55,56。 非局所ホッピングの新しい特徴的な長さスケール R の導入により、それが 1 次元と 2 次元の両方で古典的な領域のキメラ パターンを示すことができることを示します。 また、これらのパターンのさまざまな特性も調査します。

2 番目の部分では、効果的なレベルで非ローカル ホッピング モデルを生成できるローカル結合を備えた最小限の保守的なモデルを紹介します。 非局所的記述は、局所性が物理学の基本原理の 1 つであるにもかかわらず、重力、電気、磁気、双極子相互作用などのシステムに便利に使用されることがよくあります。 これらの記述は、媒介場が粒子のダイナミクスよりもはるかに速い場合に正確であり、媒介画像を非局所項を使用した効果的な粒子間記述に還元することができます。 同様の効果的な記述は、キャビティ媒介グローバルカップリングなどの媒介チャネルを追加することで操作できます57。 さらに、最近研究されている非局所拡散結合 58 や光を介した長距離結合を伴うシステムなど、特定のシステムでは結合範囲を調整できる場合があります。 ここでは、同じ原理を使用して、高速仲介チャネルを既存のシステムに接続できること、および高速チャネルの断熱除去が NLHM につながることを示します。

3 番目の部分では、NLHM によって正確に記述できる保守的な物理システムを特定することを目的としています。 この目的を達成するために、我々は、コヒーレント振動 62,63 を伴うスピン依存トラップ 61 における 2 成分 BEC に基づく特定の物理モデルを提案します。 BEC での実装では、原則として、量子領域と古典領域の両方の探索が可能になるだけでなく、ほぼすべてのパラメータの柔軟な制御も可能になります 64,65。 たとえば、フェッシュバッハ共鳴66付近の粒子密度と磁場を調整すると、粒子損失率と非線形相互作用の強さの両方が変化する可能性があります。 この設定では、ホッピングはシュレーディンガーのような方程式によって支配される媒介チャネル内の波動関数の広がりから発生するため、原子の空間ホッピングは物質波自体によって媒介されます。 このために、以前の研究と同様の数学的定式化を採用します55、56。 超低温原子の損失は寿命を制限し（これは特定のシステムでは重大な問題となる可能性があります67）、ホッピングの最大観測範囲を制限する可能性があります。 現在の技術を使用した実験で実装可能なパラメータ領域を特定します。 この状態は断熱限界に近くありませんが、キメラ パターンがまだ存在することを示します。 これらの結果は、キメラパターンが不完全性を伴う広範囲のパラメーター領域に存在する可能性があることを示唆しており、したがって、私たちの提案を使用した超低温システムの実験で観察できる可能性があります。

2 次元位相空間における 2 つの異なるタイプの発振器のダイナミクスの図。 (a) リミットサイクルアトラクタを備えた自立発振器。 リミット サイクル (点線の単位円で表される) に近い軌道は、リミット サイクルに向かって移動します。 エネルギーの散逸と駆動は、時間が無限に進むにつれて、2 つの異なる初期状態が同じ振動周波数を持つ同じ漸近ダイナミクスに向かう傾向があるように存在します。 (b) 保守的な非線形発振器。 通常、発振周波数は初期条件に依存します。 エネルギーは保存されるため、異なる初期エネルギーに対応する軌道は常に分離されたままになります。

NLHM モデルはハミルトニアンによって与えられます。

ここで、 \(a_{i}=\sqrt{n_{i}}e^{i\theta _{i}}\) はサイト i の状態を表す複素数です。 \(|a_i|\) は次のようになります。振幅、\(n_{i}=|a_{i}|^{2}\) は粒子の数または密度、\(\theta _{i}\) は位相です。 \(\mathscr {U}\) はオンサイト非線形相互作用 U を持つ非線形エネルギー、\(\mathscr {P}\) はホッピング強度 P を持つホッピング エネルギーです。 \(G_{ij}\) \(G_{ij}=G_{ji}\ を使用して、サイト \(\textbf{r}_{j}\) から \(\textbf{r}_{i}\) へのホッピングを記述するホッピング カーネルです。 ）。 通常、\(G_{ij}\) は、距離 \(|\textbf{r}_{j}-\textbf{r}_{i}|\) が増加するにつれて減少し、ホッピング範囲 R によって特徴付けられる場合があります。 R が十分に小さい場合、ホッピングは効果的に最近隣になります。 この論文では、表 1 で導出された \(G_{ij}\) と R を使用します。 このハミルトニアンは、エネルギーと粒子数 \(N=\sum _{i}n_{i}\) の両方を保存します。 また、正準座標と運動量 \(\{q_{i},p_{i}\}\) だけでなく、作用と角度の変数 \(\{n_{i},\theta _{i) を使用して表すこともできます。 }\}\) (SM セクション S1 を参照)。 ハミルトニアンではホッピング項は二次 \(a_{i}^{*}a_{j}\) であり、粒子間相互作用 \(n_{i}n_{j) の通常の四次項とは異なることに注意してください。 }\) たとえば、クーロン相互作用の場合。 したがって、対応する力学方程式には、最低次のオンサイト非線形性と非局所線形ホッピング項が含まれます。

ここで \(\hbar\) はプランク定数であり、時間を再スケーリングすることで一般性を失うことなく \(\hbar =1\) に設定できます。 この方程式は、非ローカル ホッピングを伴う BHM の平均場方程式であることに注意してください 55,56。 さらに、この方程式の最近傍変分は離散 GPE68 であり、非空間変分は離散自己トラップ方程式 69 です。

NLHM の動的方程式は、再スケーリング \(a_{i} \rightarrow a_{i}/\sqrt{n_{0}}\), \(t \rightarrow (Un_{0} /\hbar )t\)、および \(P \rightarrow P/(Un_{0})\) ここで、\(n_{0}\) はサイトあたりの粒子の平均数です。 方程式は次のようになります: \(i\dot{a}_{i}(t)=|a_{i}|^{2}a_{i}-P\sum _{j}G_{ij}a_{j} \)、これは再スケーリングされたホッピング強度 P と再スケーリングされたホッピング半径 R の制御パラメーターのみに依存します。 (2) は \(\theta _{i}(t)\) と \(n_{i}(t)\) に関して次のように書くことができます。

これは、位相 \(\theta _{i}(t)\) の発展が振動子の密度 \(n_{i}(t)\) に依存し、その逆も同様であることを明確に示しています。 非常に弱いホッピング体制であっても、それらは最低次数に結合されたままです。 図1aに示すような散逸システムの場合、すべての i について弱い結合領域での散逸後に \(\dot{n_i}\sim 0\) を実行すると、簡略化された位相ダイナミクスを得ることができます。 これは、エネルギーが一定の保守的な場合には一般に不可能です。一般に、エネルギーを一定に保つために、あるサイト i での大きな \(n_i\) を別のサイトの小さな \(n_j\) で補う必要があるからです。 これは、散逸システムとは対照的に、保守的なシステムにおけるこれらの条件の重要な役割を強調しています。 NLHM のダイナミクスは、式 (1) を解くことでわかります。 (2) 標準的な数値手法を使用し (「手法」を参照)、1D と 2D の結果を次のサブセクションに示します。

オシレーターのランダムな初期位相のみを備えた 1D の NLHM。 (a) 位相 \(\theta _i(t)\) の時空間プロット。 (b) \(n_i(t)\) の時空間プロット。 (c) \(t=0\) と \(t=400\) における \(\theta _i(t)\) のスナップショット。 (d) \(t=0\) と \(t=400\) における \(n_i(t)\) のスナップショット。 (e) \(t=400\) における局所順序パラメータ \(\mathscr {O}\) のプロット。 (f) \(x=0\) における局所順序パラメーター \(\mathscr {O}\) の経時的なプロット。 (g) \(t=0\) から \(t=400\) までの平均角周波数 \(\langle \dot{\theta }_i\rangle\)。 (h) 中心付近の 2 つの振動子の振動 \(Im(a_i)\)。 パラメータ: \(Un_{0}=1\)、\(P=0.2\)、\(R=64\)、および磁束なし境界条件と初期密度 \ の格子数 \(L=2048\) (|a_i|^2=1\)。 わかりやすくするために、中央領域のみを示しています。 ホッピング カーネル \(G_{ij}\) を表 1 に示します。無次元単位と \(\hbar =1\) が使用されます。

図 2 と似ていますが、中央の初期密度がゼロで、サブ図 (c) と (d) に示すように位相が反転しています。 \(N = \sum _i|a_i|^2 = L\) を使用した図 2 と同じパラメーター。

キメラ パターンによく使用される初期条件は、十分に長い緩和時間の後にキメラ パターンが現れる可能性があるランダム位相フィールド 5,24,70,71 です。 ただし、NLHM の場合、シミュレーションによると、このようなランダムな初期条件のダイナミクスは、時間の経過とともに明確なパターンがなく、一貫性のないままであることが示されています。 空間的に拡張されたシステムにおける永続的なパターンの自発的な出現は通常、私たちの保守的なモデルには存在しないアトラクターの概念に関連付けられているため、これは予想外のことではありません。 代わりに、インコヒーレント領域とコヒーレント領域、したがってキメラパターンは、図2a〜dに示すように、小さな領域でのランダムな位相（ただし、振幅や密度は除く）を除いて均一な初期条件から始まり、時間の経過とともに持続することができます。地域。 特に、図2gに示す時間平均角周波数 \(\langle \dot{\theta }_{i}\rangle\) は、コヒーレント領域では均一ですが、インコヒーレント領域では一定範囲の値を取ります。したがって、キメラ状態の定義的な特性が満たされます。 時間的発展に関しては、\(n_{i}\) が最初は一定であっても、式に基づいて予想されるように、図 2b に示すように、ランダムな位相がすぐに密度の変動を引き起こします (SM のシミュレーションのアニメーションを参照)。 。 (3)。 このような挙動は、構造上の単純化された位相モデルでは捉えることができません。 位相のコヒーレンスを測定するには、ローカル順序パラメーター \(\mathscr {O}_i = \sum _j G_{ij} e^{i\theta _j}\)5 を使用します。 すべての位相 \(\theta _j\) がホッピング範囲 R 内で同じであるときの振幅 \(|\mathscr {O}_i| \sim 1\)。図 2e に示すように、\(|\mathscr {O }_i|\) は予想通り、インコヒーレント領域の中心付近で最小値をとります。 さらに、局所秩序パラメータは収束せず、システムの保守的な性質により、図2fに示すように変動し続けます（図3fも参照）。これにより、散逸システムに典型的な緩和挙動が妨げられます。 図 2a、c、e、g は、この初期条件ではインコヒーレント領域が完全に非同期化されていないことも示しています。 中心領域の周囲で位相と振幅の両方がランダムである初期条件を使用すると、はるかに強力な非同期を取得できます。SM の図 S2 を参照してください。 したがって、初期振幅は保存系では観察されるキメラパターンの特性に重要な役割を果たしますが、振幅の初期変動が減衰する傾向がある散逸系では通常当てはまりません。 もう1つの顕著な観察は、 \(\langle \dot{\theta }_{i}\rangle\) がインコヒーレントコア全体で非単調に動作する可能性があることです（図2gと図3も参照）が、通常は次の条件に応じて単調に変化します。散逸の場合および単純化された位相モデルにおけるインコヒーレントコアからの距離5。 発振器のインコヒーレントなダイナミクスは図2hで観察できます。ここでは、インコヒーレント領域内の2つの発振器の軌跡が示されています。 ホッピング強度 \(P>0\) の特定の値は、キメラ パターンに定性的な影響を与えません。 ただし、振幅の初期条件が均一の場合、SM の図 S3 に示すように、P が減少すると振幅の変動が減少する可能性があります。

これは、一部の特殊な場合には単純な位相記述で十分であることを示唆している可能性がありますが、すでに上で説明したように、そのような単純化は一般に不可能です。 具体的には、NLHM の特徴の 1 つは、リミット サイクル アトラクターがないため、ローカル位相発振器が任意の振幅で発振できることです。 これは、異なる振幅の初期条件を使用して観察できます。 例は図 3c、d に示されており、初期密度がゼロに低下し、中心で位相が \(\pi\) だけ変化します (これは渦位相の初期条件の断面図です。詳細については次のセクションを参照してください)詳細）。 以前の研究 27,28 で示唆されているように、興味深いキメラ パターンは、このような規則的な初期条件から自発的に形成される可能性があります。 ここで、図3a、bに示すように、中心付近の局所的な位相インコヒーレンスと局所的な密度変動は時間の経過とともに増加します。 図 3h に示すように、中心付近の発振器の瞬間周波数も時間の経過とともに大きく変化する可能性があります。 特に、図 3b、h に示すように、これらの振動は振幅がほぼゼロになります。 対照的に、自立発振器を備えた散逸システムで形成された対応するキメラ パターンの場合、発振は通常、弱い結合領域のリミット サイクル近くで発生します 6。

式 2 で与えられる 2D NLHM のキメラ パターン (1)。 (a) 時間 \(t=0\) における均一な振幅 \(|a_i|=1\) の初期位相。 (b,c) \(t=100\) における位相 \(\theta _i\) と粒子数 \(n_i=|a_i|^{2}\)。 (d) 断面 \(y=0\) の位相 \(\theta _i(t)\) の時間発展。 (e) (d) の時間間隔にわたる平均局所回転速度 \(\langle \dot{\theta }_{i}\rangle\)。 (f) 中心に近い点 \((x,y)=(-5,0)\) (赤) と遠く離れた点 \((-100,0)\) (青) の時間変化。 (g) (f) の局所位相空間軌道。 (h) 時間の経過に伴う粒子あたりのホッピング エネルギー \(\mathscr {P}/\mathscr {N}\) の変化。 (i) \(t=100\) におけるすべての点の位相ポートレート。 パラメータ: \(Un_{0}=1\)、\(P=0.5\)、\(R=16\)、および長さ \(L=256\)、磁束なし境界条件。 明確にするために、コア領域のみが示されています。 ホッピング カーネル \(G_{ij}\) を表 1 に示します。無次元単位と \(\hbar =1\) が使用されます。

図 4 と似ていますが、渦の初期条件は (a) の位相と挿入図の密度によって与えられ、ホッピング強度は弱くなります。 点は、(f) の \((x,y)=(-5,0)\) (赤) と \((-15,0)\) (青) です。 (g) と (i) の場合、 \(t=100\) です。 パラメータ: \(Un_{0}=1\)、\(P=0.1\)、\(R=16\)、および磁束境界条件なしのサイズ \(L=256\)。

1D システムと同様に、2D では、ランダムな位相領域による初期状態が時間の経過とともに維持される可能性があります。 ここでは、そのようなキメラパターン、特に位相特異点の周囲にインコヒーレント領域が自発的に形成されるパターンに焦点を当てます25、27、28。 これらのパターンは、インコヒーレントなコアが位相の変動に対して堅牢であるという意味で、トポロジカル保護の恩恵を受けます。 調査する最初の初期条件は、図 4a に示すように、中心を除くどこでも局所的に位相コヒーレントであり、密度が均一であるスパイラル位相の初期条件です (「方法」も参照)。 この初期条件により、位相フィールドの図 4b に示すように、システムは自発的に、大きな空間的にコヒーレントな領域に囲まれた小さなインコヒーレントなコアを持つ状態に発展する可能性があります。 さらに、図4cでは同じコア領域の近くで密度がランダム化されています。 図4dの断面のダイナミクスで示されているように、この空間構造は長期間にわたって維持されます（SMのスナップショットとアニメーションについては図S4を参照）。 さらに、システムサイズ L と R が増加した場合でも、同じパターンが観察できます (SM の図 S5 を参照)。 図 1 と 2 の 2 つの発振器のローカル ダイナミクスは次のとおりです。 4f,g は 2 つの領域の違いを明確に示しています。\(a_{i}\) はコアから遠く離れたところで規則的に振動しますが、コアに近くは振動しません。 1 次元システムと同様に、インコヒーレント領域は、ホッピング範囲 R が十分に大きい場合 (ここでは \(R \gtrsim 3\) ) にのみ表示されます。 さらに、最近傍ホッピングを使用すると、システムは離散 GPE に還元されるため、インコヒーレント領域が広がり、波のように干渉します (SM の図 S8 を参照)。 これらの特徴はすべて、自立発振器を備えた駆動散逸システムのキメラコアの以前の観察と一致しています24、25、28。 2D の独特の特徴は 1D の特徴と似ています。 これは、角周波数と位相空間の軌道に関して図4e〜gに示されています。 特に局所的な平均回転速度の大きな変動に注目してください。 特に、図 4c、g と、特定の瞬間におけるすべての発振器の位相と振幅を示す図 4i の位相ポートレートから、発振器は振幅に大きな変動を示す可能性があります。 キメラコアの形成後、パターンはシミュレーションできた最長の時間スケール (\(>1000\) の螺旋回転) にわたって持続することを指摘したいと思います。 この観察は、ランダムフェーズコアが初期条件として使用される場合、キメラコアパターンもそのような長い時間スケールにわたって持続することを示唆しています。 これは実際に私たちが観察したものです（SMの図S6を参照）。

リミット サイクルのない重要な振幅依存ダイナミクスは、図 5 の中心で振幅がゼロになる渦位相の初期条件で明確に観察できます (SM のスナップショットについては図 S7 を参照)。ホッピング \(P=0.1 \)。 上で議論した 1D の場合と同様に、振幅の変動は小さな P の初期条件に近いままです。特に、異なる振幅を持つ発振器は、式 1 による弱いホッピング領域であっても異なる発振周波数を持ちます。 (3) 弱いホッピングから生じる小さな修正を伴います。 さらに重要なことは、保守的なハミルトニアン系として、時間反転対称性があり、 \(\mathscr {H}\) と N の両方の量が保存されることです (図 S9 と SM のアニメーションを参照)。 これにより、図 4b ～ d で観察されるような持続的な変動またはリップルが発生しますが、これらは散逸系ですぐに減衰します。 さらに、コア領域の逆方向時間発展の結果は非常にデリケートです。 小さな摂動により、バックグラウンドは \(t=0\) でほぼ同じ状態に戻る可能性がありますが、コアはインコヒーレントなままであり (SM の図 S9 を参照)、これも 2 つの領域間の違いを示しています (セクションを参照) . S4とSMのアニメ）。 これは、規則的な螺旋へのポアンカレ回帰時間、つまり任意に小さいが有限の距離内で元の状態 (可能な回転または平行移動を法として) に戻るのにかかる時間は大きく、規則的な螺旋に遭遇する確率はゼロであることを示唆しています。システムサイズの制限は無限にあります。

さらに、図4hに示すように、総エネルギー \(\mathscr {H}\) が一定であっても、ホッピングエネルギー \(\mathscr {P}\) は一定ではありません。 したがって、時間の経過とともに \(\mathscr {P}\) と \(\mathscr {U}\) の間には変換が発生します。 これは、定数 \ で \(\mathscr {H}/N = Un_0^2/2 - Pn_0\) で与えられる粒子あたりのエネルギーを持つ単純なコヒーレントで一様な分布 \(a_i=\sqrt{n_0}\) とは異なります。 (\mathscr {P}\) と \(\mathscr {U}\)。 ここで考慮されるすべてのキメラ パターンはハミルトニアンの基底状態に対応せず、励起状態であることに注意してください。

現実的な実験システムでは、通常、少量の粒子損失が存在し、\(U\rightarrow U-iU_{loss}\) という項によって現象論的にモデル化できます。 直観的には、粒子の損失が条件 \(U_{loss} t/\hbar \lesssim 1\) で与えられる初期粒子数の半分未満であれば、ダイナミクスは大きく変化しないはずです。実際、キメラ パターンでは次のことが可能です。たとえば、十分に短い時間でも \(U_{loss}/U=0.02\) で観察されます (SM の図 S11)。 1D (SM の図 S10) および 2D (SM の図 S11) におけるこのような損失の詳細については、セクション 2 で説明します。 SMのS4。

媒介ホッピングのイラスト。 (a) 2 成分モデル: オンサイト相互作用 U を持つ粒子はトラップされますが (\(\psi _1\) で示されます)、伝播可能な媒介状態 (\(\psi _2\) で示されます) に変換できます。自由に。 最終的には近くのサイトに変換されて、特徴的なホッピング範囲 R が生じます。 (b) 高速媒介チャネルを断熱的に除去した後のホッピング強度 P をもつ有効なモデル。 (c) 間隔 d と格子深さ \(V_{0}\) の周期格子: 捕捉されたボソン粒子は、幅 \(\ell\) とエネルギー \(\epsilon _{1}\ の局所基底状態の波動関数によって記述できます) ) (エネルギーギャップ \(\delta \epsilon = \epsilon _{2}-\epsilon _{1}\) を使用)。 P と R は、コヒーレント振動周波数 \(\Omega\) と、局在状態と媒介状態の間の離調 \(\Delta =\Delta _{2}-\epsilon _{1}/\hbar\) によって制御できます。 (d) R は \(\Delta\) で調整できます。詳細については本文を参照してください。 （e）図8で考慮した2D周期格子。

仲介メカニズムの重要なアイデアは、図6aに示すように、相互変換可能な仲介チャネル（\(\psi _2\)でラベル付け）をトラップ状態（\(\psi _1\)でラベル付け）に接続することです。 直接ホッピングでは、隣接するサイト間のエネルギー障壁が増加すると、ホッピング強度とホッピング範囲の両方が減少します。 対照的に、粒子がエネルギー障壁を受けない高速媒介状態に変換できれば、粒子は物理的にはるか遠くまでジャンプできます。 数学的には、このチャネルは断熱的に削除することができ（たとえば、非ハミルトニアン システムに対して行われたように 5,72）、その結果、オンサイトの非線形性、ホッピング強度、およびホッピングを個別に調整できる効果的な非局所モデル（図 6b を参照）が得られます。最近傍ホッピングからグローバルホッピングまで調整できる範囲。

上で説明した仲介チャネルの概念を捉える最小限の数学モデルは次の形式になります。

それぞれ、ローカライズされた \(\psi _1\) コンポーネントと仲介 \(\psi _2\) コンポーネント用です。 対応するハミルトニアンは式で与えられます。 (6) 適切なパラメータを使用します。 相互変換は、粒子の数を保存する離調 \(\Delta\) と、コヒーレント振動周波数 \(\Omega\) とのコヒーレント結合によって支配されます。 この結合は、研究対象の物理システムに応じて、ラビ結合またはジョセフソン結合と呼ばれることもあります62、63、73。 方程式 (4b) は本質的に、逆質量 \(\kappa =\hbar /(2m)>0\) を持つ自由粒子のシュレーディンガー方程式なので、粒子は外側に伝播できます。 大幅な離調領域 \(|\Delta | \gg |\Omega |\) での追加の離調により、媒介アイデアが適切に定義されていることを確認できます。 粒子の数 \(N_{j}=\int d\textbf{仲介チャネル \(N_{2}\ll N_{1}\ほぼ N\) の r}|\psi _{j}|^{2}\) は無視できます。 このモデルは非局所拡散結合のフレームワークでは捉えられないことに注意してください58。 これは、断熱消去が適用される場合でも、基礎となるハミルトニアン システムの保存特性を常に維持するように明示的に構築されています。

式 (1) を使用した直接シミュレーションによる最小モデルのキメラ パターン (4) \(t=100\) では図 4b,c と同様です。 設定は図 4 と同じですが、パラメーター \(\Delta =16\)、\(\Omega =\sqrt{8}\)、\(U=1\)、および \(\kappa =4096 \)。

\(\psi _{1}\) の進化が \(\psi _{2}\) よりもはるかに遅いと仮定すると、\(\dot{\psi }_{2}=0\) を設定することで断熱消去を適用できます。 74. 平行移動不変の無制限等方性空間における \(-\kappa \nabla ^{2}\psi _{2}+\Omega \psi _{1}+\Delta \psi _{2}=0\) の解は畳み込み \(\psi _{2}(\textbf{r},t)=-(\Omega /\Delta )G_{D}(\textbf{r})*\psi _{1}( \textbf{r},t)\)、ここで \(G_{D}(\textbf{r})\) は、表 1 にリストされている D 次元ホッピング カーネル、またはグリーン関数であり、ホッピング半径は \( R=\sqrt{\kappa /|\Delta |}\)。 限定ホッピング カーネルの解法には \(\Delta >0\) が必要であることに注意してください (図 6a の \(\psi _2\) の形式を参照)。一方、 \(\Delta <0\) は波をもたらします。解決策のようなもの。 この解を式に再度代入すると、 (4a) から、連続体 NLHM を取得できます。

ここで、合計はホッピング強度 \(P=\hbar \Omega ^{2}/\Delta\) の積分に置き換えられます。 図 7 に示すように、連続 NLHM は図 4 の離散 NLHM の結果をよく近似しています。

コヒーレント変換を伴うスピン依存トラップ内の一般的な 2 成分 GPE の超低温原子系は、ハミルトニアンによって与えられます。

と

正規化 \(N=N_{1}+N_{2}\) を使用すると、 \(N_{i}=\int d\textbf{r}|\psi _{i}(\textbf{r})| となります。 ^{2}\) は各コンポーネントの粒子の数です。 \(m_i\) は粒子の質量、\(V_{i}(\textbf{r})\) はトラップポテンシャル、\(g_{ij}\) は 2 粒子の衝突係数です。現時点では \(g_{12}=g_{22}=0\) と仮定します (ゼロ以外の場合については、以下の説明を参照してください)。 コヒーレント振動項 \({{\mathscr {R}}}\) は、空間的に均一なコヒーレント振動周波数 \(\Omega\) と離調 \(\Delta _{i} を持つ 2 つの成分間の相互変換を表します。 \)。 \(V_i=0\)、\(m_1 \rightarrow \infty\)、および \(\Delta _{1}=0\) を設定すると、上で説明した最小モデルのハミルトニアンに到達します。 仲介チャネルに小さな非線形性が存在する場合、次の場合、有効な離調は \(\Delta \rightarrow \Delta +g_{12}|\psi _1|^2+g_{22}|\psi _2|^2\) になります。 (\psi _i\) は均一です。 したがって、ホッピング半径は \(g_{ij}>0\) では減少しますが、これは原子システムでは一般的です。 \(|\psi _i|^2\) が小さい場合、非線形効果は無視できることに注意してください。 これは、密度を下げることで実現できます。これは、以下に示す実際のシステムの解析で使用される主な手法の 1 つです。

数学的には、Eq. (4) は、式 (4) で記述されるシステムに適切なパラメータを設定することによって取得できます。 (6)。 特に、式(1)には運動エネルギー項が存在しない。 (4a) には \(m_1 \rightarrow \infty\) が必要です。 ただし、相互変換可能な原子系の質量 m は同じであるため、\(m_i = m\) となります。 これを回避するには、有効質量を増やすことができます。 たとえば、周期格子内に原子を配置することによって。 これは、\(V_2=0\)、\(V_{1}\) を周期的に設定し、\(\Delta _1=0\) を追加設定することで実現できます。 この場合、動的方程式は次のようになります。

ここでは、図6cに示すように、正の離調 \(\Delta = \Delta _{2} - \epsilon _{1}/\hbar >0\) のみを考慮します。

高エネルギー \(\epsilon _{i>1}\) の状態が占有されている場合、直接断熱消去は機能しないことに注意してください。 これは、高エネルギー状態は仲介成分に比べてゆっくりと進化しないためです。 より高いエネルギー準位の占有を避けるために、エネルギー \(\epsilon _{1}\) を持つ局所的な基底状態 \(\phi ({\textbf {r}})\) に系を限定し、適切なエネルギー準位を選択することで励起を防ぐことができます。 \(\epsilon _{2}-\epsilon _{1} \gg \hbar \Delta \gg \hbar |\Omega |\) のように離調します (図 6c を参照)。 これらの制約の下で、断熱消去とともに、式 (SM のセクション S2) を示すことができます。 (10a) と (10b) は、式 (10a) の正確な形式に変換されます。 (2) \(U=g_{11}\int |\phi |^4\)、\(P=\hbar \Omega ^{2}/\Delta\)、ホッピング カーネル \(G_{D}(表 1 の r)\)、および

\(d\gg 2\ell\) の場合、\(C_{D}\) は定数です。 直感的には、媒介チャネルに長時間留まる粒子ほど、ホッピング範囲 \(R\sim \Delta ^{-1/2}\) が大きくなります。 有効変換領域は、長さ d の単位格子内に特徴的な長さスケール \(2\ell\) があるため、\(2\ell /d\) によるスケーリングが期待されます。 実際、効果的なスケーリング \(\Delta \rightarrow \Delta _{eff}=(2\ell /d)^{D}\Delta\) が得られます。 断熱消去の自己無撞着条件は、すべて \(n_{i}\sim n_{0}\) (\(n_{0}\) を仮定すると \(\hbar \Delta \gg Un_{0},P\) です。はサイトあたりの粒子の平均数です)。 この効果的な NLHM では、式の \(a_{i}\) は次のようになります。 (1) はサイト i における局在波パケットの状態を表します。 さらに、式のカーネル \(G_{ij}\) は次のようになります。 (1) は、サイト j で消滅し、サイト i で生成される波束による物質波媒介ホッピングを記述しています。

上で説明したシステムでは、相互変換可能な粒子が必要です。粒子は 2 つの異なる超微細状態を持つ原子にすることができます。 候補は、スピン依存トラップで実現されている超微細状態 \(|F=1, m_F=-1\rangle\) および \(|F=1, m_F=0\rangle\) を持つルビジウム原子です 61。 トラップポテンシャルが波長を伴う正弦波 \(V_{1}({\textbf {r}})=V_{0}\sum _{\sigma }\sin ^{2}(kx_{\sigma })\) であると仮定します。 \(\lambda\)、波数 \(k=2\pi /\lambda\)、格子間隔 \(d=\lambda /2\)、トラップ深さ \(V_{0}\)。 合計は、図6cまたはeに示すように格子トラップ次元に引き継がれます。 \(V_{0}\) が十分に大きい場合、すべての直接ホッピングを抑制でき、トラップ最小値における局所基底状態はガウス \(\phi _{\sigma }(x_{\sigma })= で近似できます。 e^{-\pi x^{2}/(2\ell _{\sigma }^{2})}/\sqrt{\ell _{\sigma }}\) with \(\ell _{\sigma }=\sqrt{\pi \hbar /(m\omega _{\sigma })}\)。 この設定では、実効体積 \(W=2^{3/2}\ell _{x}\ell _{y) の \(U=g_{11}/W\) であるため、非線形性は高密度によって強化されます。 }\ell _{z}\)。 定数は数値フィッティングによって見つけることができ、\(C_{D}\ほぼ 1\) が得られます (SM のセクション S3 と図 S1 を参照)。

ホッピングが非ローカルであるとみなされるには、 \(R>d\) が満たされる必要があります。 \(d=395\) nm と深いトラップ \(s=40\) (反跳エネルギー \(V_{0}=sE_{R}\ を表す)) を備えたルビジウム原子の例を図 6d に示します。 (E_{R}=\hbar \kappa k^{2}\))。 以前に研究したように 52 、このように大きな s では、隣接するセルの波動関数間の重なりは非常に小さく、直接ホッピングは弱く、システムは量子領域においてモット絶縁体になります。 それにもかかわらず、仲介ホッピングは直接ホッピング (順序 \(R\sim d\) を使用、図 6d を参照) を完全に置き換えることができ、リアルタイム制御が可能になります。 \(\Omega\)、\(\Delta\)、U は実験で簡単に調整できるため、R に上限はないようです。ただし、実用的な観点からは、寿命 \ によって制限されます。 (\tau\) と実験期間。 \(\tau \sim 1\)s を単純に推定すると、図 6d に示すように最大 \(R\sim 30d\) が得られます。

\(P\sim Un_{0}\) が競合する体制が最も興味深いです。 ただし、上記のパラメーターを使用した 3D 光格子の BEC には、強い非線形性 \(U/\hbar =2\pi \times 2.23\) kHz があり、大きな \(\Delta\) が必要となるため、小さな R.U は、密度を下げるか、フェッシュバッハ共振を利用するという 2 つの調整技術を使用することで減らすことができます。 後者の方法では、非線形性を何桁にもわたって実験的に調整できます66。 前者の方法は、非線形性と衝突損失を同時に低減できるため好ましい。 1D および 2D 格子では、密度を下げるために非格子次元が弱くトラップされる可能性があり、その結果、それぞれ円板とタバコの形の波動関数の格子が生成されます 76,77。 この場合、主な損失は、局所成分の 2 粒子損失です。 2 粒子の損失率は \(U_{loss}=\hbar L_{11}/W\) によって推定できるため、2 つの粒子の場合の半減期 \(\tau =W/L_{11}\) が求められます。粒子損失率 \(L_{11}\)67。 これは、2D では \(\tau \sim \ell _{z}\) であるため、\(\ell _{z}\) を増やすと BEC の寿命を改善できることを意味します。

BEC のキメラ パターン。 (a) 格子サイトあたりの粒子数が均一である初期相 \(\theta _i\) \(n_i=10\)。 (b,c) \(t=205\) ミリ秒の状態の \(\theta _i\) と \(n_i\)。 シミュレーションは式に基づいています。 \(100d\times 100d\) と磁束なしの境界条件を使用して、図6eで与えられる2D格子内の(10)。 格子単位にわたって空間的に平均化します。 (d) 2 つのコンポーネント間の相互変換。 光格子には、\(s=40\) と \(d=395\text{ nm }\) を備えたルビジウム \(^{87}\)Rb を使用します。これにより、 \(\ell _{x}= \ell _{y}=0.22d\)。 追加パラメータ: \(\Delta =2\pi \times 48\text{ Hz }\)、\(\Omega =2\pi \times 32\text{ Hz }\)。 \(\ell _{z}=200\ell _{x}\) を使用して密度を下げ、フェッシュバッハ共鳴を使用して非線形性を 10 倍弱めます。 推定値は \(Un_{0}/\hbar \about 2\pi \times 19\text{ Hz }\)、\(P\about 2\pi \times 16\text{ Hz }\)、\( R\およそ 6d\)、および \(\tau \およそ 5\text{ s }\)。

効果的なモデルの導出は、方程式の特定のパラメーター領域でもキメラ パターンが観察できることを意味します。 (4)と(10)。 問題は、そのようなパラメータ領域を現在の技術を使用した BEC 実験で実現できるかということです。 極低温原子におけるキメラパターンの存在の可能性は、方程式と式の完全なシミュレーションに基づいて、図8に与えられたパラメータ領域で確立されます。 (10)。 図4と同様に、最終的にはランダムなコアが出現します。 図 8d は、周波数 \(\sim \sqrt{\Omega ^2+\Delta ^2}\) の 2 つの成分間のコヒーレント振動を示しています。 ほとんどの原子は完全な周期の後に元に変換できることに注意してください。これは、図6aで説明した物理的な画像を裏付けており、以前の研究と一致しています55、56。 ここで研究したレジーム \(|\Delta |\gtrsim |\Omega |\) は、大幅に離調したレジームではなく、NLHM ではうまく記述できない可能性がありますが、それでもキメラ パターンはシミュレーションで観察できます。 これは、キメラパターンが広範囲のパラメータ領域に存在することを示唆しました。 実験技術が向上し続けるにつれて、断熱体制をより詳しく調査することが可能になるでしょう。

実験的には、均一な BEC から開始して初期状態を準備できます。 直接ホッピングが抑制され、媒介ホッピングが優勢になり始めるまで、\(V_{1}\) を断熱的にオンにして、何千もの光格子サイト 77、78、79 を作成できます。 短い光パルスによって引き起こされるエネルギーシフトを使用して、任意の希望の初期段階を作成できます。 システムの状態とダイナミクスは、光学的読み取り、飛行時間技術、物質波干渉などのさまざまな技術を使用して検出できます80、81。 ここでの損失 \(U_{loss}/U \約 0.017\) は、最小モデルでの議論と同等です。 少量の損失により、BEC システムが古典的な軌道 82 に従う可能性があるため、各サイトは古典的な平均場の振幅と位相によって適切に記述できることに注意してください。 同時に、私たちのシミュレーションは、2D のキメラコアパターンがそのトポロジー構造により特に堅牢であることを示唆しています。 具体的には、キメラコアの初期状態から始めると、それが長期間にわたって持続する可能性があります。 これは、特定の実験において他の実験上の欠陥によって BEC の寿命がさらに制限される場合に特に役立ちます。 これらすべては、実験的な BEC でキメラ パターンが観察できるはずであることを示唆しています。

要約すると、私たちの研究はキメラ状態のハミルトニアン定式化を提示し、3 つの保守的なハミルトニアン システムにおけるキメラ パターンの存在を実証します。 私たちの研究で使用された NLHM は非局所 CGLE5 の直接の類似物であり、私たちのアプローチは超低温原子での既存の技術の適用を可能にし、量子領域に容易に一般化できます。 BEC の現実的なパラメータ領域での我々のシミュレーションは、現在の技術を使用した超低温システムでの実験でキメラ パターンが観察可能であることを示唆しています。 さらに、我々の結果は、インコヒーレント領域の持続と、2D における渦または螺旋の初期状態から始まるキメラコアの形成が、結果的に生じるローカルホッピングとは対照的に、媒介非ローカルホッピングが正しく実装されていることを示す 2 つの異なる指標であることを示唆しています。時間の経過とともに一貫性のない領域を平滑化すること。

この論文の結果は、キメラ パターンを理解するための新しい手段を提供する古典的な保守的なハミルトニアン システムに基づいています。 私たちが分析した物理プロセスはすべて一貫性があり、エネルギーと粒子の両方を保存するため、これらの結果は量子領域に拡張される可能性があります。 式 (1) ～ (2)、(4) ～ (10) は量子化でき、式 (1) ～ (2)、(4) ～ (10) は量子化できます。 (1) は、調整可能な媒介ホッピングを備えた Bose-Hubbard モデルになります 55。 これにより、他の長距離効果に加えて、超固体状態やトポロジカル欠陥を伴う量子渦などのエキゾチックな凝縮物質状態の探査への扉が開かれます54,83。 私たちが提示した技術は、多数の発振器の同期とキメラ パターンの実験的研究が量子システムで実現可能である可能性があることを示唆しています 37,84,85,86,87,88。 私たちは、ここでの私たちの研究が、極低温の原子や量子系におけるキメラパターンのさらなる研究の動機となることを願っています。

図 8 の Gross-Pitaevskii 方程式を解くために使用した数値的手法は、4 次の時間分割法です 89。 保守的なシステムのこの方法では、粒子数が自動的に保存されます。 他のすべての結果については、標準の 4 次のルンゲ クッタを使用しました。 シミュレーションで使用されるジオメトリは、サイズ L の正方格子と磁束なしの境界条件です。 スパイラルの初期条件には、一様密度 \(|a_{i}|=\sqrt{n_{0}}\) が使用され、状態は \(a_{i}(t=0)=\sqrt{ n_{0}}e^{i(k_{s}r-\tan ^{-1}(y/x))}\) with \(r=\sqrt{(x^{2}+y^{ 2})}\)。 渦のような初期条件の場合、状態は \(a_i(t=0) = A_i e^{i \tan ^{-1}(y/x)}\) と \(A_i = 1-e) で与えられます。 ^{-r/R_{vortex}}\) および \(R_{vortex}\) は渦の長さのスケールです。 この原稿では \(R_{vortex}=R\) を使用します。 仲介チャネルを備えたシステムの場合、チャネルは最初は空です \(\psi _2=0\)。

現在の研究中に生成されたデータセットは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

パナッジオ MJ とエイブラムス DM キメラは次のように述べています: 結合発振器のネットワークにおけるコヒーレンスとインコヒーレンスの共存。 非線形性 28、R67 (2015)。

記事 ADS MathSciNet MATH Google Scholar

Schöll, E. 複雑なネットワークにおける同期パターンとキメラ状態: トポロジーとダイナミクスの相互作用。 ユーロ。 物理学。 J.仕様上。 225、891–919 (2016)。

記事 Google Scholar

Bera, BK、Majhi, S.、Ghosh, D.、Perc, M. Chimera は次のように述べています: 異なる結合トポロジーの影響。 EPL 118、10001 (2017)。

記事 ADS Google Scholar

オメルチェンコ、OE キメラ国家の背後にある数学。 非線形性 31、R121 (2018)。

記事 ADS MathSciNet MATH Google Scholar

Kuramoto, Y. & Battogtokh, D. 非局所結合位相発振器におけるコヒーレンスとインコヒーレンスの共存。 非線形現象。 Complex Syst 5、380–385 (2002)。

Google スカラー

倉本 裕司 & 島 S.-I. 反応拡散系における位相特異性のない回転スパイラル。 プログレ。 理論。 物理学。 補足 150、115–125 (2003)。

記事 ADS MathSciNet Google Scholar

島、S.-I. & Kuramoto, Y. 非局所結合発振器の位相ランダム化コアを備えた回転スパイラル波。 物理学。 Rev. E 69、036213 (2004)。

記事 ADS Google Scholar

IS アランソン & クラマー L. 複雑なギンツブルク-ランダウ方程式の世界。 Rev.Mod. 物理学。 74、99–143 (2002)。

記事 ADS MathSciNet MATH Google Scholar

Kuramoto, Y. 化学振動、波、乱流。 Synergetics の Springer シリーズ、1 ～ 4 の No. 19 (Springer Berlin Heidelberg、1984)。

ヘイガーストローム、AM et al. 結合マップ格子におけるキメラの実験的観察。 ナット。 物理学。 8、658–661 (2012)。

記事 CAS Google Scholar

Tinsley, MR、Nkomo, S. & Showalter, K. 結合化学振動子の集団におけるキメラと位相クラスター状態。 ナット。 物理学。 8、662–665 (2012)。

記事 CAS Google Scholar

Nkomo, S.、Tinsley, MR、Showalter, K. は、非局所結合化学振動子の集団におけるキメラを述べています。 物理学。 レット牧師。 110、244102 (2013)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Martens, EA、Thutupalli, S.、Fourrière, A. & Hallatschek, O. 機械振動子ネットワークにおけるキメラ状態。 PNAS 110、10563–10567 (2013)。

論文 ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Wickramasinghe, M. & Kiss, IZ 化学振動子ネットワークにおける空間的に組織化された動的状態: 同期、動的微分、およびキメラ パターン。 PLoS ONE 8、e80586 (2013)。

論文 ADS PubMed PubMed Central Google Scholar

Schmidt, L.、Schönleber, K.、Krischer, K. & García-Morales, V. 非線形大域結合下の振動媒体における同期性と非コヒーレンスの共存。 カオスインターディスク。 J.非線形科学。 24、013102 (2014)。

Rosin、DP、Rontani、D.、Haynes、ND、Schöll、E. & Gauthier、DJ ブール位相発振器のネットワークにおけるキメラ状態の過渡スケーリングと復活。 物理学。 Rev. E 90、030902 (2014)。

記事 ADS Google Scholar

Larger, L.、Penkovsky, B. & Maistrenko, Y. 遅延フィードバック システム用の仮想キメラ ステート。 物理学。 レット牧師。 111、054103 (2013)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Larger, L.、Penkovsky, B. & Maistrenko, Y. 複雑なシステムにおける多重安定パターンのパラダイムとしてのレーザーキメラ。 ナット。 共通。 6、7752 (2015)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Kapitaniak, T.、Kuzma, P.、Wojewoda, J.、Czolczynski, K. & Maistrenko, Y. 結合振り子の不完全なキメラ状態。 科学。 議員 4, 6379 (2014)。

論文 ADS PubMed PubMed Central Google Scholar

Viktorov、EA、Habruseva、T.、Hegarty、SP、Huyet、G. & Kelleher、B. 光コムにおけるコヒーレンスとインコヒーレンス。 物理学。 レット牧師。 112、224101 (2014)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Majhi, S.、Bera, BK、Ghosh, D. & Perc, M. ニューロン ネットワークにおけるキメラの状態: レビュー。 物理学。 Life Rev. 28、100–121 (2019)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Masoliver, M.、Davidsen, J. & Nicola, W. リカレント ニューラル ネットワークにキメラ状態を埋め込む。 共通。 物理学。 5、1–9 (2022)。

記事 Google Scholar

Abrams, DM & Strogatz, SH 結合発振器のキメラ状態。 物理学。 レット牧師。 93、174102 (2004)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

キム、P.-J.、コ、T.-W.、チョン、H.、ムン、H.-T. 位相シフト結合を使用した発振器の 2 次元アレイでのパターン形成。 物理学。 Rev. E 70、065201 (2004)。

記事 ADS Google Scholar

Martens, EA、Laing, CR & Strogatz, SH 螺旋波キメラの可溶モデル。 物理学。 レット牧師。 104、044101 (2010)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Motter、AE 非線形ダイナミクス: 自発的な同期の破壊。 ナット。 物理学。 6、164–165 (2010)。

記事 CAS Google Scholar

Gu, C.、St-Yves, G. & Davidsen, J. 複雑な振動系およびカオス系における螺旋波キメラ。 物理学。 レット牧師。 111、134101 (2013)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Lau, HW & Davidsen, J. 振動系における連結および結節したキメラフィラメント。 物理学。 Rev. E 94、010204 (2016)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Davidsen, J. 対称破壊スパイラル。 ナット。 物理学 14、207–208 (2018)。

記事 CAS Google Scholar

Smirnov、LA、Bolotov、MI、Bolotov、DI、Osipov、GV & Pikovsky、A. キメラ ソリトンの有限密度誘起運動性と乱流。 新しい J. Phys. 24、043042 (2022)。

記事 ADS MathSciNet Google Scholar

Gavrilov、S. ポラリトン キメラ: ボース アインシュタインは、固有のカオス性と自発的な長距離秩序を備えた凝縮体です。 物理学。 レット牧師。 120、033901 (2018)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Gavrilov、SS 励起子-ポラリトン系における非平衡遷移、カオス、およびキメラ状態。 物理学-USP。 63、123 (2020)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Clerc, MG、Ferré, MA、Coulibaly, S.、Rojas, RG & Tlidi, M. 結合導波路共振器のアレイにおけるキメラのような状態。 オプション。 レット。 42、2906–2909 (2017)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Lazarides, N.、Nefotistos, G. & Tsironis、SQUID メタマテリアルの GP キメラ。 物理学。 Rev. B 91、054303 (2015)。

記事 ADS Google Scholar

Kemeth, FP、Haugland, SW、Schmidt, L.、Kevrekidis, IG & Krischer, K. キメラ状態の分類スキーム。 カオス 26、094815 (2016)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

サウスウェールズ州ハウグランド キメラ状態の概念の変化、批判的レビュー。 Ｊ．Ｐｈｙｓ． 複雑な。 2、032001 (2021)。

記事 ADS Google Scholar

Bastidas、VM、Omelchenko、I.、Zakharova、A.、Schöll、E.、Brandes、T. キメラ国家の量子署名。 物理学。 Rev. E 92、062924 (2015)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Bastidas VM、Omelchenko I、Zakharova A、Schöll E、Brandes T. 量子力学のキメラステート。 Schöll, E.、Klapp, SHL & Hövel, P. (編) Control of Self-Organizing Nonlinear Systems、Understanding Complex Systems、315–336 (Springer International Publishing、Cham、2016)。

桜井 A.、バスティダス V.、マンロー W.、根本 K. 量子スピン ネットワークにおけるキメラ時間結晶秩序。 物理学。 レット牧師。 126、120606 (2021)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Landau、LD および Lifshitz、EM Mechanics: Volume 1 (Butterworth-Heinemann、アムステルダム ua、1976)、第 3 版 edn。

Dalfovo、F.、Giorgini、S.、Pitaevskii、LP、Stringari、S. 閉じ込められたガスにおけるボース・アインシュタイン凝縮の理論。 神父牧師モッド。 物理学。 71、463–512 (1999)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Leggett、AJ アルカリガス中のボース・アインシュタイン凝縮: いくつかの基本概念。 Rev.Mod. 物理学。 73、307–356 (2001)。

記事 ADS CAS Google Scholar

アングリン、JR & ケッターレ、W. ボーズ・アインシュタインによる原子ガスの凝縮。 Nature 416、211–218 (2002)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Pethick、CJ & Smith、H. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases (Cambridge University Press、2008)、2 版

Gross、EP ボソン系における量子化渦の構造。 イル・ヌオーヴォ・シメント 1955–1965(20)、454–477 (1961)。

記事 ADS MathSciNet MATH Google Scholar

Gross、EP 超流動凝縮物の流体力学。 Ｊ．Ｍａｔｈ． 物理学。 4、195–207 (1963)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Pitaevskii、L. & Stringari、S. ボーズ・アインシュタイン凝縮 (オックスフォード大学出版局、米国、2003 年)。

数学 Google Scholar

Cross, M. & Greenside, H. 非平衡システムにおけるパターン形成とダイナミクス (Cambridge University Press、2009)、1 版

カプラル、R. & ショーウォルター、K. 化学波とパターン (Springer、ベルリン、2012)。

Google スカラー

Landau, LD & Pinzburg, VL 超伝導理論について。 Zh. エクスプ。 テオール。 フィズ。 1064 年 20 日 (1950 年)。

Google スカラー

Witthaut, D. & Timme, M. Kuramoto ハミルトン系の力学。 物理学。 Rev. E 90、032917 (2014)。

記事 ADS Google Scholar

Jaksch, D.、Bruder, C.、Cirac, JI、Gardiner, CW & Zoller, P. 光格子内のコールドボソン原子。 物理学。 レット牧師。 81、3108–3111 (1998)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Dutta, O. et al. 光格子における非標準ハバードモデル: レビュー。 プログレ議員。 物理学。 78、066001 (2015)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

ランディグ、R.ら。 光格子内で競合する短距離相互作用と長距離相互作用から生じる量子相。 ネイチャー 532、476–479 (2016)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

de Vega, I.、Porras, D. & Ignacio Cirac, J. 光格子における物質波放射: 単一粒子と集団効果。 物理学。 レット牧師。 101、260404 (2008)。

論文 PubMed Google Scholar

Navarrete-Benlloch, C.、アイダホ州ベガ、Porras, D. & Cirac, JI 光格子内の冷たい原子による量子光学現象のシミュレーション。 新しい J. Phys. 13、023024 (2011)。

Ritsch, H.、Domokos, P.、Brennecke, F. & Esslinger, T. 空洞で生成された動的光ポテンシャル内の冷たい原子。 Rev.Mod. 物理学。 85、553–601 (2013)。

記事 ADS CAS Google Scholar

田中大樹 & 倉本裕也. 非局所結合を伴う複素ギンツブルグ・ランダウ方程式。 物理学。 Rev. E 68、026219 (2003)。

記事 ADS Google Scholar

ダグラス、JSら。 冷たい原子がフォトニック結晶に結合された量子多体モデル。 ナット。 Photon 9、326–331 (2015)。

記事 ADS CAS Google Scholar

González-Tudela, A.、Hung, C.-L.、Chang, DE、Cirac, JI & Kimble, HJ サブ波長真空格子と 2 次元フォトニック結晶における原子間相互作用。 ナット。 Photon 9、320–325 (2015)。

記事 ADS Google Scholar

McKay, DC、Meldgin, C.、Chen, D. & DeMarco, B. 格子と自由ボーズガスの間の遅い熱化。 物理学。 レット牧師。 111、063002 (2013)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

ミズーリ州スカリーおよびズバイリー修士号量子光学学 (ケンブリッジ大学出版局、米国、1997 年)。

Google Scholar を予約する

Gerry, C. & Knight, P. 量子光学入門 (Cambridge University Press、ケンブリッジ、2005)。

Google スカラー

Jaksch, D. & Zoller, P. 冷たい原子ハバードのツールボックス。 アン。 物理学。 315、52–79 (2005)。

記事 ADS CAS MATH Google Scholar

Morsch, O. & Oberthaler, M. 光格子におけるボース・アインシュタイン凝縮体のダイナミクス。 Rev.Mod. 物理学。 78、179–215 (2006)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Chin, C.、Grimm, R.、Julienne, P.、Tiesinga, E. Feshbach の超低温ガス中での共鳴。 Rev.Mod. 物理学。 82、1225–1286 (2010)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Lau, HW、Dutton, Z.、Wang, T. & Simon, C. ボース・アインシュタイン凝縮におけるスピンキャット状態の生成と光学的検出に関する提案。 物理学。 レット牧師。 113、090401 (2014)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Trombettoni, A. & Smerzi, A. 希薄なボース アインシュタイン凝縮による離散ソリトンとブリーザー。 物理学。 レット牧師。 86、2353–2356 (2001)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Eilbeck, JC、Lomdahl, PS、Scott, AC 離散自己トラップ方程式。 物理学。 D 16、318–338 (1985)。

記事 MathSciNet MATH Google Scholar

Omel'chenko、OE、Wolfrum、M.、Yanchuk、S.、Maistrenko、YL & Sudakov、O. 非局所結合位相発振器の 2 次元アレイにおけるコヒーレンスとインコヒーレンスの定常パターン。 物理学。 神父牧師 E 85、036210 (2012)。

記事 ADS Google Scholar

Maistrenko, Y.、Sudakov, O.、Osiv, O.、Maistrenko, V. キメラは 3 次元で状態を示します。 ニュージャージー州物理学。 17、073037 (2015)。

記事 MATH Google Scholar

Laing、CR 純粋にローカルカップリングを備えたネットワーク内のキメラ。 物理学。 Rev. E 92、050904 (2015)。

記事 ADS Google Scholar

Sigrist, M. & 上田, K. 型破りな超伝導の現象学的理論。 Rev.Mod. 物理学。 63、239–311 (1991)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Brion, E.、Pedersen, LH & Mølmer, K. ラムダ系における断熱消去。 Ｊ．Ｐｈｙｓ． A: 数学です。 理論。 40、1033 (2007)。

記事 ADS MathSciNet MATH Google Scholar

Nicklas、E. et al. ラビフロッピングは空間的分離ダイナミクスを誘発します。 物理学。 レット牧師。 107、193001 (2011)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

バーガー、S.ら。 ボース・アインシュタイン凝縮における暗いソリトン。 物理学。 レット牧師。 83、5198–5201 (1999)。

記事 ADS CAS Google Scholar

Bloch, I. 光格子内の超低温量子気体。 ナット。 物理学。 1、23–30 (2005)。

記事 CAS Google Scholar

シャーソン、JF et al. 原子モット絶縁体の単一原子分解蛍光イメージング。 ネイチャー 467、68 (2010)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Würtz, P.、Langen, T.、Gericke, T.、Koglbauer, A. & Ott, H. 2 次元光格子における単一サイトのアドレス指定可能性の実験による実証。 物理学。 レット牧師。 103、080404 (2009)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

デイビス、KB 他。 ナトリウム原子の気体におけるボース・アインシュタイン凝縮。 物理学。 レット牧師。 75、3969–3973 (1995)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Gadway, B.、Pertot, D.、Reeves, J. & Schneble, D. 物質波による極冷原子結晶の探査。 ナット。 物理学。 8、544–549 (2012)。

記事 CAS Google Scholar

Habib, S.、Shizume, K. & Zurek, WH デコヒーレンス、カオス、および対応原理。 物理学。 レット牧師。 80、4361–4365 (1998)。

記事 ADS MathSciNet CAS MATH Google Scholar

Henkel, N.、Nath, R. & Pohl, T. リュードベリ励起ボース アインシュタイン凝縮における三次元ロトン励起と超固体形成。 物理学。 レット牧師。 104、195302 (2010)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Mari, A.、Farace, A.、Didier, N.、Gionnetti, V. & Fazio, R. 連続変数システムにおける量子同期の測定。 物理学。 レット牧師。 111、103605 (2013)。

論文 ADS CAS PubMed Google Scholar

Lee, TE & Sadeghpour, HR トラップされたイオンによる量子ファンデルポール発振器の量子同期。 物理学。 レット牧師。 111、234101 (2013)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Walter, S.、Nunnenkamp, A. & Bruder, C. 駆動される自立発振器の量子同期。 物理学。 レット牧師。 112、094102 (2014)。

論文 ADS PubMed Google Scholar

Witthaut, D.、Wimberger, S.、Burioni, R. & Timme, M. 古典的な同期は、孤立した量子システムにおける永続的なもつれを示します。 ナット。 共通。 8、14829 (2017)。

論文 ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Viennot, D. & Aubourg, L. 量子キメラ状態。 物理学。 レット。 A 380、678–683 (2016)。

論文 ADS MathSciNet CAS Google Scholar

Antoine, X.、Bao, W. & Besse, C. 非線形シュレディンガー/グロス-ピタエフスキー方程式の力学の計算手法。 計算します。 物理学。 共通。 184、2621–2633 (2013)。

記事 ADS MathSciNet CAS MATH Google Scholar

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有益な議論をしていただいた David Hobill 氏、Lindsay Leblanc 氏、Matthew Fisher 氏、Stephen Wein 氏、Farokh Mivehvar 氏に感謝します。 この研究は、WestGrid、Calcul Québec、および Compute Canada によって提供されたサポートによって部分的に可能になりました。 HWHL は AITF と NSERC によってサポートされました。 JD と CS は、NSERC からの財政的支援を認めています。

ホン ワイ ハナ ラウ

現住所：〒904-0495 沖縄県国頭郡恩納村 沖縄科学技術大学院大学 量子情報科学技術ユニット

カルガリー大学量子科学技術研究所および物理天文学部、カルガリー、AB、T2N 1N4、カナダ

ホン・ワイ・ハナ・ラウ & クリストフ・サイモン

カルガリー大学物理天文学部複雑性科学グループ、カルガリー、T2N 1N4、カナダ

ホン・ワイ・ハナ・ラウ & ヨーン・デイヴィッドセン

ホッチキス脳研究所、カルガリー大学、カルガリー、T2N 4N1、カナダ

ヨーン・デイヴィッドセン & クリストフ・サイモン

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HWHL はプロジェクトを発案し、数学モデルを構築し、計算とシミュレーションを実行し、すべての図と動画を準備しました。 JD はキメラ パターンの側面を監督し、HWHL で主要原稿のキメラ部分を書きました。 CS は原子物理学の側面を監督し、HWHL で主要原稿の原子部分を書きました。 著者全員が原稿の最終版をレビューしました。

ホン・ワイ・ハナ・ラウへの対応。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

シュプリンガー ネイチャーは、発行された地図および所属機関における管轄権の主張に関して中立を保ちます。

補足事項 １．

補足２．

補足３．

補足４．

補足事項 ５．

オープン アクセス この記事はクリエイティブ コモンズ表示 4.0 国際ライセンスに基づいてライセンスされており、元の著者と情報源に適切なクレジットを表示する限り、あらゆる媒体または形式での使用、共有、翻案、配布、複製が許可されます。クリエイティブ コモンズ ライセンスへのリンクを提供し、変更が加えられたかどうかを示します。 この記事内の画像またはその他のサードパーティ素材は、素材のクレジットラインに別段の記載がない限り、記事のクリエイティブ コモンズ ライセンスに含まれています。 素材が記事のクリエイティブ コモンズ ライセンスに含まれておらず、意図した使用が法的規制で許可されていない場合、または許可されている使用を超えている場合は、著作権所有者から直接許可を得る必要があります。 このライセンスのコピーを表示するには、http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ にアクセスしてください。

転載と許可

Lau、HWH、Davidsen、J. & Simon、C. 保守的なハミルトニアン系および極低温原子のボーズ アインシュタイン凝縮におけるキメラ パターン。 Sci Rep 13、8590 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-35061-3

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受信日: 2017 年 8 月 21 日

受理日: 2023 年 5 月 11 日

公開日: 2023 年 5 月 26 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-35061-3

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